Théorème de Lax-Milgram

Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram, auxquels on adjoint parfois celui de Jacques-Louis Lions – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.

Énoncé

Soient :

${\mathcal {H}}$ un espace de Hilbert réel ou complexe muni de son produit scalaire noté $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ , de norme associée notée $\|\cdot \|$ ;
$a(\cdot ,\cdot )$ $a(\cdot ,\cdot )$ une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ est complexe) qui est :
- continue sur ${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ : $\exists c>0\quad \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\quad |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$ ,
- coercive sur ${\mathcal {H}}$ (certains auteurs disent plutôt ${\mathcal {H}}$ -elliptique) : $\exists \alpha >0\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}$ ;
$L(.)$ une forme linéaire continue sur ${\mathcal {H}}$ .

Sous ces hypothèses, il existe un unique $u$ de ${\mathcal {H}}$ tel que l'équation $a(u,v)=L(v)$ soit vérifiée pour tout $v$ de ${\mathcal {H}}$ :

{\displaystyle (1)\quad \exists

Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors $u$ est l'unique élément de ${\mathcal {H}}$ qui minimise la fonctionnelle $J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R}$ définie par $J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-L(v)$ pour tout $v$ de ${\mathcal {H}}$ , c'est-à-dire :

{\displaystyle (2)\quad \exists

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur $f\in {\mathcal {H}}$ tel que

\forall v\in {\mathcal {H}}\quad L(v)=\langle f,v\rangle

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu $A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})$ tel que

\forall u,v\in {\mathcal {H}}\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle

La proposition $(1)$ se réécrit alors :

{\displaystyle \exists

Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que $A$ est une bijection de ${\mathcal {H}}$ sur ${\mathcal {H}}$ . On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.

Par la coercivité de $a$ et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout $v\in {\mathcal {H}}$

\alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|

d'où $\|Av\|\geq \alpha \|v\|$ pour tout $v$ de ${\mathcal {H}}$ , ce qui montre que $A$ est injectif et d'image fermée. Notons ${\mathcal {Z}}$ cette image. Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que ${\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }$ .

Soit ensuite un élément $w$ de ${\mathcal {Z}}^{\perp }$ , on a par définition $\langle Aw,w\rangle =0$ et donc :

\alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0

d'où $w=0$ . Ainsi, ${\mathcal {Z}}^{\perp }$ est réduit à $\{0\}$ , ce qui montre que $A$ est surjectif.

L'endomorphisme $A$ est bijectif ; il existe donc un unique $u$ de ${\mathcal {H}}$ tel que $Au=f$ et il est donné par $u=A^{-1}f$ .

Remarque

Sans calculer $u$ , on a l'inégalité

\|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}

où $\|\cdot \|'$ désigne la norme de l'espace dual ${\mathcal {H}}'$ .

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire $a$ est symétrique, on a pour tout $w$ de ${\mathcal {H}}$ :

J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-L(w){\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)

Comme $u$ est l'unique solution de la proposition $(1)$ , cela donne

J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)

Et comme $a$ est coercive, on a :

J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}

On a donc $J(u)\leq J(v)$ pour tout $v\in {\mathcal {H}}$ , d'où le résultat $(2)$ .

Applications

Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis ; on peut en effet montrer que si, au lieu de chercher u dans ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal H}$ , on cherche $u_{n}$ $u_{n}$ dans ${\mathcal {H}}_{n}$ ${\mathcal {H}}_{n}$ , un sous-espace de ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal H}$ de dimension finie n, alors :
- dans le cas où $a$ est symétrique, $u_{n}$ est le projeté de $u$ au sens du produit scalaire défini par $a$ ;
- si l'on se donne $(\varphi _{i})$ une base de ${\mathcal {H}}_{n}$ , le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :
  ${\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}$ avec $A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})$ et $b_{i}=L\varphi _{i}$ .
On peut obtenir une estimation d'erreur à l'aide du lemme de Céa.

Bibliographie

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]