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Théorème de Lax-Milgram

Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram, auxquels on adjoint parfois celui de Jacques-Louis Lions – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.

Énoncé

Soient :

  • un espace de Hilbert réel ou complexe muni de son produit scalaire noté , de norme associée notée ;
  • une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si est complexe) qui est :
    • continue sur : ,
    • coercive sur (certains auteurs disent plutôt -elliptique) : ;
  • une forme linéaire continue sur .

Sous ces hypothèses, il existe un unique de tel que l'équation soit vérifiée pour tout v de :

.

Si de plus la forme bilinéaire est symétrique, alors est l'unique élément de qui minimise la fonctionnelle définie par pour tout de , c'est-à-dire :

.

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur tel que

.

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu tel que

.

La proposition (1) se réécrit alors :

.

Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que A est une bijection de sur . On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.

Par la coercivité de et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout

d'où pour tout de , ce qui montre que A est injectif et d'image fermée. Notons cette image. Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que .

Soit ensuite un élément w de , on a par définition et donc :

d'où . Ainsi, est réduit à , ce qui montre que A est surjectif.

L'endomorphisme A est bijectif ; il existe donc un unique u de tel que et il est donné par .

Remarque

Sans calculer u, on a l'inégalité

désigne la norme de l'espace dual .

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire a est symétrique, on a pour tout w de :

.

Comme u est l'unique solution de la proposition (1), cela donne

.

Et comme a est coercive, on a :

.

On a donc pour tout , d'où le résultat (2).

Applications

  • Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis ; on peut en effet montrer que si, au lieu de chercher u dans , on cherche dans , un sous-espace de de dimension finie n, alors :
    • dans le cas où a est symétrique, est le projeté de u au sens du produit scalaire défini par a ;
    • si l'on se donne une base de , le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :
      avec et .
  • On peut obtenir une estimation d'erreur à l'aide du lemme de Céa.

Bibliographie

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

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