Coercivité
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction réelle est dite coercive si « elle tend vers l'infini à l'infini », éventuellement dans une partie spécifiée de l'ensemble de départ. Une définition analogue est utilisée pour les formes bilinéaires. En analyse fonctionnelle la coercivité est aussi définie pour les opérateurs d’un espace de Hilbert dans lui-même et plus généralement pour les opérateurs d'un espace de Banach dans son dual topologique .
Définition
Une fonction définie sur un espace normé à valeurs dans est dite coercive sur une partie non bornée de si
ou de manière plus précise
Il revient au même de dire que les intersections avec des ensembles de sous-niveau de la fonction sont bornées :
Si l'on ne spécifie pas la partie , il est sous-entendu que .
On peut aussi étendre la définition à un espace métrique, en remplaçant par où est fixe dans .
Cas d'une forme bilinéaire
Définition
Plus spécifiquement, une forme bilinéaire est dite coercive si elle vérifie :
Certains auteurs préfèrent utiliser l'appellation -elliptique pour cette dernière définition. Celle-ci intervient entre autres dans le théorème de Lax-Milgram et la théorie des opérateurs elliptiques, ainsi que dans la méthode des éléments finis.
Lien entre les définitions
Dans le cas où est une forme bilinéaire, en posant on a équivalence entre la coercivité de et celle de . En effet, implique qu'il existe tel que . Ainsi (en utilisant la variable u),
et
On identifie dès lors : qui est strictement positif.
Opérateur d’un espace de Hilbert dans lui-même
Un opérateur d'un espace de Hilbert dans lui-même est dit coercif ssi
où 〈·, ·〉 désigne le produit scalaire de et ║·║ la norme associée.
Opérateur d'un espace de Banach dans son dual topologique
Un opérateur d'un espace de Banach dans son dual topologique est dit coercif ssi
où ║·║ désigne la norme de et pour et on pose :