Espace homogène

Espaces liés aux espaces vectoriels et affines. Les espaces sont homogènes pour GL(E) ou GA(X) suivant le cas.

• Espace affine X.
• Grassmannienne d'indice p de E.
• Grassmannienne affine d'indice p de X.
• Grassmannienne orientée d'indice p de E, si D = R.
• Variété de drapeaux de signature (p₁, …, p_k) de E.
• Variété de Stiefel des p-repères linéaires de E (suites de p vecteurs linéairement indépendants de E).
• Ensemble des vecteurs non nuls de E.
• Espace des décompositions directes de signature (p₁, …, p_k) de E.
• Espace des Δ-formes de E (Δ un sous-corps de D), c'est-à-dire des sous-Δ-espaces vectoriels du Δ-espace vectoriel sous-jacent engendrés par une base du D-espace vectoriel E.

Si D (ou Δ) est égal R, C ou H, alors ce sont des espaces homogènes de Lie. Si la dimension de D sur K est fini (ce qui est le cas si D = K, c'est-à-dire si D est commutatif), alors ce sont des espaces homogènes algébriques.

On suppose qu'il existe une involution de corps σ de D et soit φ une forme sesquilinéaire non dégénérée hermitienne ou antihermitienne sur E relativement à σ de D, K₀ le sous-corps du centre de K qu'est l'ensemble des éléments a du centre de D tel que σ(a) = a. Si D = K est commutatif, on note q une forme quadratique non dégénérée sur E.

Lorsque la dimension de D sur K est finie (ce qui est le cas si D est commutatif), alors U(φ) est un groupe algébrique sur K₀, et les espaces de cette section sont des espaces homogènes algébriques sur K₀. Si D = C et si σ est l'identié, alors φ est bilinéaire symétrique ou alternée, U(φ) est un groupe de Lie complexe (on a U(φ) = O(φ) ou U(φ) = Sp(φ) suivant le cas), et les espaces de cette section sont des espaces homogènes de Lie complexe pour U(φ). Si D = R, ou si D = C ou D = H et σ est la conjugaison, U(φ) est un groupe de Lie réel, et lorsque les U(φ) opère transitivement sur les espaces de cette section, cet espace est un espace homogène de Lie de U(φ).

• Espace affine X, pour le sous-groupe des éléments de GA(X) dont la partie linéaire appartient à U(φ) (ou au groupe GU(φ) des similitudes de φ).

• Espaces de sous-espaces vectoriels totalement isotropes. On suppose ici que φ existe et que φ est isotrope, c'est-à-dire qu'il existe un vecteur non nul de E tel que φ(x, x) = 0. On note ν l'indice de Witt de φ, ou de q, c'est-à-dire la plus grande dimension de sous-espaces vectoriels de E sur laquelle φ, ou q est identiquement nulle. Si 2ν = n, un lagrangien est un sous-espace vectoriel de dimension ν sur lequel φ, ou q, est identiquement nulle. Ces espaces sont homogènes pour U(φ) ou O(q) suivant le cas. Si D est de dimension finie sur K, ce sont des espaces homogènes algébriques pour U(φ) ou O(q).
• Grassmannienne isotrope d'indice p de E pour φ ou, si D est commutatif, pour q, c'est-à-dire des sous-espaces vectoriels de dimension p de E sur lesquels φ, ou q, est identiquement nulle. Si 2p = 2ν = n, on l'appelle grassmannienne lagrangienne de φ, ou q.
• Espace des droites vectorielles isotropes de E, pour φ, ou q.
• Ensemble des vecteurs de E qui sont isotropes pour φ, ou q.
• Variété des drapeaux isotropes de signature (p₁, …, p_k), c'est-à-dire des drapeaux de cette signature qui sont formés de sous-espaces vectoriels qui sont totalement isotropes pour φ, ou q.
• Espace des décompositions lagrangiennes de E, si 2ν = n, c'est-à-dire couples (L, L') de lagrangiennes de E qui sont supplémentaires.
• Espace des couples de droites vectorielles isotropes non orthogonales pour φ, ou 'q

• Grassmannienne de signature donnée. Ici D est le corps D = R ou D = C ou D = H, et suivant le cas, φ est une forme bilinéaire symétrique réelle, ou une forme hermitienne complexe ou quaternionienne. Ce sont des espaces homogènes pour U(φ) (c'est-à-dire O(φ) si D = R.
  • Grassmannienne de signature (r, s) de E pour φ, c'est-à-dire sous-espaces vectoriels de dimension r + s de E pour lequel la signature de la forme bilinéaire symétrique ou hermitienne induite par φ est (r, s). Si φ est définie positive, alors s = 0, et c'est alors la grassmannienne d'indice r de E.
  • Espace des droites vectorielles positives (resp. négatives) de E pour φ, c'est-à-dire engendré par un vecteur v de E pour lequel φ(v, v) est un nombre réel strictement positive (resp. négatif). Si φ est définie positive, c'est alors l'espace projectif P(E), qui est alors un espace elliptique. Si la signature (l, m) de φ est telle que m = 1, l'ensemble des droites vectorielles négatives pour φ est un espace hyperbolique.
  • Grassmanniennes affine d'indice p d'un espace affine euclidien, pour son groupe des isométries ou son groupe des similitudes.
• Grassmannienne des sous-espaces vectoriels non dégénérés. C'est la Grassmannienne des sous-espaces vectoriels V de dimension p de E tels que la forme induite par φ, ou q, est non dégénérée.
  • Si la dimension de D sur K₀ est fini (ce qui est le cas si D = K est commutatif), c'est un espace homogène algébrique pour U(φ), mais pas nécessairement un espace homogène au sens ordinaire.
  • Si D = K si φ est une forme bilinéaire alternée, c'est un espace homogène au sens ordinaire. Si D = K est algébriquement clos (par exemple si K = C) et si φ est une forme bilinéaire symétrique, c'est un espace homogène au sens ordinaire pour O( φ)
  • Si D est le corps H des quaternions et si φ est antihermitienne pour la conjugaison, c'est un espace homogène au sens ordinaire pour O(φ) = U(φ).

• « Sphère » des vecteurs x de E tels que φ(x, x) = a (ou q(x, x) = a), c'est un espace homogène pour U(φ), (ou O(q)), algébrique si D est de dimension finie sur K (par exemple si D = K est commutatif).
• Variété de Stiefel des repères de matrices inversible donnée A ∈ M_p(D) pour φ, c'est-à-dire des suites (x_i) de p vecteurs linéairement indépendants de E tel que les matrices (φ(x_i, y_j) et A sont égales. C'est un espace homogène pour U(φ), algébrique si D est de dimension finie sur K (par exemple si D = K est commutatif) Si A est la matrice identité, c'est variétés de Stiefel des p-repères orthonormaux.

• Espace des quadriques projectives propres de P(E), si D = K est commutatif. C'est un espace homogène algébrique pour GL(E), pas nécessairement au sens ordinaire, mais ce l'est si K est algébriquement clos (par exemple si K = C).
• Espace des endomorphismes hermitiens de E pour φ, c'est-à-dire des automorphismes f de E tels que φ(f(x), y) = φ(x, f(y)) quels que soient x et y dans E. C'est un espace homogène algébrique pour GL(E) si D est de dimension finie sur K, mais pas nécessairement au sens ordinaire.

• Plan de Moufang X (par exemple plan projectif de Cayley P₂(O) sur l'algèbre O des octonions de Cayley), pour le groupe des collinéations de X.
• Plan affine de Moufang de X (par exemple le plan affine de Cayley O²), pour le groupe des collinéations de X.
• Plan elliptique de Cayley pour son groupe des isométries.
• Plan hyperbolique de Cayley pour son groupe des isométries.

Le plan projectif de Cayley, le plan affine de Cayley, le plan elliptique de Cayley et le plan hyperbolique de Cayley sont des espaces homogènes de Lie de ces groupes de Lie réels.