Plan de Cayley

Dans le plan de Cayley, les droites et les points peuvent être définis de manière naturelle de sorte à former un espace projectif de dimension deux, c'est-à-dire un plan projectif. C'est un plan non arguésien, c'est-à-dire que le théorème de Desargues n'est pas vérifié.

Plus précisément, depuis 2005, il existe deux objets appelés plans de Cayley, à savoir le plan de Cayley réel et le plan Cayley complexe. Le plan de Cayley réel est l'espace symétrique F₄/Spin(9), où F₄ est une forme compacte d'un groupe de Lie simple exceptionnel et Spin(9) est le groupe spinoriel associé à l'espace euclidien de dimension neuf (réalisé dans F₄). Il admet une décomposition cellulaire en trois cellules, de dimensions 0, 8 et 16[2].

Le plan de Cayley complexe est un espace homogène sous la complexification du groupe E₆ par un sous-groupe parabolique P₁. C'est l'orbite fermée dans la projectivisation de la représentation complexe de dimension minimale de E₆. Le plan de Cayley complexe est constitué de deux orbites complexes sous F₄ : l'orbite fermée est un quotient du groupe F₄ complexifié par un sous-groupe parabolique, l'orbite ouverte est la complexification du plan de Cayley réel[3], sur laquelle elle se rétracte.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cayley plane » (voir la liste des auteurs).