Sous-groupe de Borel

Les sous-groupes emboîtés entre un sous-groupe de Borel B et le groupe ambiant G sont appelés sous-groupes paraboliques. Les sous-groupes paraboliques P sont également caractérisés, parmi les sous-groupes algébriques, par la condition que G/P est une variété complète. Si l'on travaille sur des corps algébriquement clos, les sous-groupes de Borel s'avèrent être les sous-groupes paraboliques minimaux dans ce sens. Autrement dit, B est un sous-groupe de Borel lorsque l'espace homogène G/B est une variété complète « aussi grande que possible ».

Pour un groupe algébrique simple G, l'ensemble des classes de conjugaison des sous-groupes paraboliques est en bijection avec les parties de l'ensemble des sommets du diagramme de Dynkin correspondant ; le sous-groupe de Borel correspond à l'ensemble vide et G lui-même correspond à l'ensemble de tous les sommets. (De façon générale, chaque sommet du diagramme de Dynkin détermine une racine négative simple et donc un « sous-groupe radiciel » de dimension 1 de G. De la sorte, un sous-ensemble des sommets détermine un sous-groupe parabolique, engendré par B et les sous-groupes radiciels négatifs correspondants. De plus, tout sous-groupe parabolique est conjugué à un tel sous-groupe parabolique.)

Soit ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{4}(\mathbb {C} )}$. Un sous-groupe Borel ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle G}$ est l'ensemble des matrices triangulaires supérieures

${\displaystyle \left\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}}$

et les sous-groupes paraboliques propres maximaux de ${\displaystyle G}$ contenant ${\displaystyle B}$ sont

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}.}$

Par ailleurs, un tore maximal dans ${\displaystyle B}$ est

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}.}$

Ce tore est isomorphe au tore algébrique ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])}$[1].

Pour le cas particulier d'une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ avec une sous-algèbre de Cartan ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, étant donné un ordre sur ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, la sous-algèbre de Borel correspondante est la somme directe de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ et des espaces de poids de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ayant un poids positif. Une sous-algèbre de Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ contenant une sous-algèbre de Borel est appelée une algèbre de Lie parabolique.