Poids (théorie des représentations)

Exemple des poids d'une représentation de l'algèbre de Lie sl(3,C)

Soit V une représentation d'une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sur C et soit λ une forme linéaire sur ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Alors lespace de poids λ de V est le sous-espace ${\displaystyle V_{\lambda }}$ défini par

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\quad H\cdot v=\lambda (H)v\}}$.

Un poids de la représentation V est une forme linéaire λ dont l'espace de poids correspondant est non trivial. Les éléments non nuls de l'espace des poids sont appelés vecteurs de poids. Autrement dit, un vecteur de poids est un vecteur propre simultané pour l'action des éléments de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, avec les valeurs propres correspondantes données par λ.

Si V est la somme directe de ses espaces de poids

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

alors on dit que c'est un module de poids. Cela signifie qu'il existe une base propre commune (une base de vecteurs propres simultanés) pour tous les éléments représentés de l'algèbre, c'est-à-dire que les éléments de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ agissent sur V par des matrices simultanément diagonalisables (voir matrice diagonalisable).

Si G est un groupe (de Lie ou algébrique) d'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, toute représentation de dimension finie de G induit une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Un poids de la représentation de G est alors simplement un poids de la représentation associée de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Il existe une distinction subtile entre les poids des représentations d'un groupe et les représentations de son algèbre de Lie, à savoir qu'il existe une notion différente de condition d'intégralité dans les deux cas ; voir ci-dessous. (La condition d'intégralité est plus restrictive dans le cas du groupe, reflétant que toutes les représentations de l'algèbre de Lie ne proviennent pas d'une représentation du groupe. )

Si V est la représentation adjointe de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, les poids non nuls de V sont appelés racines, les espaces de poids sont appelés espaces radiciels et les vecteurs de poids sont appelés vecteurs radiciels. Explicitement, une forme linéaire ${\displaystyle \alpha }$ sur ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ est appelée racine si ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ et s'il existe un élément non nul ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ tel que

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

pour tous ${\displaystyle H}$ dans ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. L'ensemble des racines forme un système de racines.

Du point de vue de la théorie des représentations, la signification des racines et des vecteurs radiciels est le résultat élémentaire mais important suivant : si V est une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, v est un vecteur de poids de poids ${\displaystyle \lambda }$ et X est un vecteur racine avec racine ${\displaystyle \alpha }$, alors

${\displaystyle H\cdot (X\cdot v)={\bigl [}(\lambda +\alpha )(H){\bigr ]}(X\cdot v)}$

pour tout H dans ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Autrement dit, ${\displaystyle X\cdot v}$ est soit le vecteur zéro, soit un vecteur de poids ${\displaystyle \lambda +\alpha }$. Ainsi, l'action de ${\displaystyle X}$ envoie l'espace de poids ${\displaystyle \lambda }$ dans l'espace de poids ${\displaystyle \lambda +\alpha }$.

Éléments algébriquement entiers (réseau triangulaire), éléments entiers dominants (points noirs) et poids fondamentaux pour sl(3,C) (${\displaystyle \omega _{1}}$et ${\displaystyle \omega _{2}}$)

Soit ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ le sous-espace réel de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ engendré par les racines de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Pour les calculs, il est commode de choisir un produit scalaire invariant par le groupe de Weyl, c'est-à-dire par les réflexions par rapport aux hyperplans orthogonaux aux racines. On peut alors utiliser ce produit interne pour identifier ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ avec un sous-espace ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Avec cette identification, la coracine associée à une racine ${\displaystyle \alpha }$ est définie comme

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$.

On définit à présent deux notions différentes d'intégralité pour les éléments de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$. La motivation de ces définitions est simple : les poids des représentations de dimension finie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ satisfont à la première condition d'intégralité, tandis que si G est un groupe avec l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, les poids des représentations de dimension finie de G satisfont à la deuxième condition d'intégralité.

Un élément ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ est algébriquement entier si

${\displaystyle \langle \lambda ,H_{\alpha }\rangle =2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}\in \mathbf {Z} }$

pour toutes les racines ${\displaystyle \alpha }$. La motivation de cette condition est que la coracine ${\displaystyle H_{\alpha }}$ peut être identifiée avec l'élément H dans une base standard ${\displaystyle (X,Y,H)}$ d'une sl(2, C)-sous-algèbre de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[2]. D'après des résultats élémentaires pour sl(2, C), les valeurs propres de ${\displaystyle H_{\alpha }}$ dans toute représentation de dimension finie est nécessairement un nombre entier. On en déduit que, comme indiqué ci-dessus, le poids de toute représentation de dimension finie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est algébriquement entier[3].

Les poids fondamentaux ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ sont définis par la propriété qu'ils forment une base de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ duale de l'ensemble des coracines associées aux racines simples. Autrement dit, les poids fondamentaux sont définis par la condition

${\displaystyle 2{\frac {\langle \omega _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{j},\alpha _{j}\rangle }}=\delta _{i,j}}$

où ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ sont les racines simples. Un élément ${\displaystyle \lambda }$ est alors algébriquement entier si et seulement si c'est une combinaison intégrale des poids fondamentaux[4]. L'ensemble de tous les poids ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-entiers forme un réseau dans ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ appelé le réseau des poids de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ et noté ${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$.

La figure ci-dessus montre l'exemple de l'algèbre de Lie sl(3, C), dont le système de racines est de type ${\displaystyle A_{2}}$. Il y a deux racines simples, ${\displaystyle \gamma _{1}}$ et ${\displaystyle \gamma _{2}}$. Le premier poids fondamental, ${\displaystyle \omega _{1}}$, est orthogonal à ${\displaystyle \gamma _{2}}$ et se projette orthogonalement sur la moitié de ${\displaystyle \gamma _{1}}$ et de même pour ${\displaystyle \omega _{2}}$. Le réseau des poids est alors le réseau triangulaire.

On suppose maintenant que l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie G. Alors on dit que ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ est analytiquement entier (G-entier) si pour chaque t dans ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ tel que ${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$ on a ${\displaystyle \langle \lambda ,t\rangle \in 2\pi i\mathbf {Z} }$. La raison de poser cette définition est que si une représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ provient d'une représentation de G, alors les poids de la représentation sont G-entiers[5]. Pour G semi-simple, l'ensemble de tous les poids G -entiers est un sous-réseau P(G) ⊂ P(${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Si G est simplement connexe, alors P(G) = P(${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Si G n'est pas simplement connexe, alors le réseau P(G) est plus petit que P(${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$) et leur quotient est isomorphe au groupe fondamental de G[6].

Si les racines positives sont ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, et ${\displaystyle \alpha _{3}}$, la région grisée est l'ensemble des points supérieurs à ${\displaystyle \lambda }$

On introduit maintenant un ordre partiel sur l'ensemble des poids, qui servira à formuler le théorème du plus haut poids qui décrit les représentations de g. On rappelle que R est l'ensemble des racines ; on fixe maintenant un ensemble ${\displaystyle R^{+}}$ de racines positives.

Soient deux éléments ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \lambda }$ de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ fixés. On s'intéresse principalement au cas où ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \lambda }$ sont entiers mais cette hypothèse n'est pas nécessaire pour la définition que l'on va introduire. On dit alors que ${\displaystyle \mu }$ est supérieur à ${\displaystyle \lambda }$, ce que l'on écrit ${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$, si ${\displaystyle \mu -\lambda }$ est exprimable comme une combinaison linéaire de racines positives avec des coefficients réels positifs ou nuls[7]. En gros, « supérieur » signifie dans les directions des racines positives. On dit de façon équivalente que ${\displaystyle \lambda }$ est inférieur à ${\displaystyle \mu }$, ce que l'on note ${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$.

Ceci n'est qu'un ordre partiel ; il arrive très fréquemment que ${\displaystyle \mu }$ ne soit ni supérieur ni inférieur à ${\displaystyle \lambda }$.

Un poids entier λ est dit dominant si ${\displaystyle \langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0}$ pour chaque racine positive γ. De manière équivalente, λ est dominant s'il s'écrit comme combinaison des poids fondamentaux avec des coefficients entiers naturels. Dans le ${\displaystyle A_{2}}$ cas, les éléments entiers dominants décrivent un secteur de 60 degrés. La notion d'être dominant n'est pas la même chose que d'être supérieur à zéro. On remarquera que la zone grisée sur l'image de droite est un secteur de 120 degrés, contenant strictement le secteur de 60 degrés correspondant aux éléments intégraux dominants.

L'ensemble de tous les λ (pas nécessairement entiers) tels que ${\displaystyle \langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0}$ est connue comme la chambre de Weyl fondamentale associée à l'ensemble donné de racines positives.

Un poids ${\displaystyle \lambda }$ d'une représentation ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est appelé un plus haut poids si tous les autres poids de ${\displaystyle V}$ sont inférieurs à ${\displaystyle \lambda }$.

La classification des représentations irréductibles de dimension finie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ se formule au moyen d'un « théorème du plus haut poids ». Le théorème exprime que[8]

(1) chaque représentation irréductible (de dimension finie) a un plus haut poids ;

(2) le plus haut poids est toujours un élément dominant, algébriquement entier ;

(3) deux représentations irréductibles qui ont le même plus haut poids sont isomorphes ;

(4) chaque poids dominant, algébriquement entier, est le plus haut poids d'une représentation irréductible.

Le dernier point est le plus difficile ; les représentations peuvent être construites à l'aide de modules de Verma.

Une représentation (pas nécessairement de dimension finie) V de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est appelé module de plus haut poids si elle est engendrée par un vecteur de poids v ∈ V qui est annulé par l'action de tous les espaces de racines positives de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Tout ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module irréductible admettant un plus haut poids est toujours un module de plus haut poids mais, dans le cas de dimension infinie, un module de plus haut poids n'est pas nécessairement irréductible. Pour chaque ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ – pas nécessairement dominant ni entier – il existe un unique (à isomorphisme près) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module simple de plus haut poids λ, que l'on note L(λ). Ce module est de dimension infinie sauf si λ est entier dominant. On peut montrer que chaque module de plus haut poids λ est un quotient du module de Verma M(λ). Ceci n'est qu'une reformulation de la propriété universelle dans la définition d'un module Verma.

Tout module de plus haut poids de dimension finie est irréductible[9].

• Classification des représentations de dimension finie des algèbres de Lie
• Théorie des représentations d'un groupe de Lie compact connexe
• Catégorie de plus haut poids (en)
• Système de racines

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Weight (representation theory) » (voir la liste des auteurs).

• (en) William Fulton et Joe Harris, Representation theory: a first course, New York, Springer, 1991 (ISBN 0387974954, OCLC 22861245)
• Roe Goodman et Nolan R. Wallach, Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, 1998 (ISBN 978-0-521-66348-9)
• Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations : An Elementary Introduction, vol. 222, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2015, 2^e éd. (ISBN 978-3319134666)
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, 1972a (ISBN 978-0-387-90053-7, lire en ligne ).
• James E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, vol. 21, Berlin, New York, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1972b (ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773)
• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser, 2002, 2^e éd. (ISBN 978-0-8176-4259-4)

• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Britannica