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Recollement (topologie)

En mathématiques, le recollement est la construction d'un espace topologique obtenu en « attachant un espace à un autre le long d'une application ». Plus précisément[1] - [2], on attache un espace Y à un espace X, le long d'une application f à valeurs dans X, continue sur un sous-espace A de Y, en définissant l'espace X f Y comme le quotient de la somme topologique (en) XY par la relation d'équivalence qui identifie chaque élément de A à son image par f. C'est un cas particulier de somme amalgamée.

Propriétés

L'ensemble quotient (sans sa topologie) est canoniquement en bijection avec la réunion disjointe X⊔(Y\A).

Si A est fermé dans Y, le plongement XX f Y est une application fermée et le plongement(Y\A) → X f Y est une application ouverte.

Si A est ouvert (resp. fermé) et f est ouverte (resp. fermée), l'application XYX f Y de passage au quotient est ouverte (resp. fermée)[3].

Exemples

  • Le recollement de « cellules » est l'opération de base dans la définition inductive des CW-complexes. L'espace Y est dans ce cas une n-boule fermée et le sous-espace A est son bord, la (n – 1)-sphère.
  • Le recollement est aussi utilisé pour définir des sommes connexes de variétés. Ici, on retire d'abord à chacune des deux variétés une boule ouverte, avant d'attacher entre eux les bords sphériques de ces deux boules.
  • Le wedge de deux espaces pointés est le recollement des deux espaces le long de l'application qui envoie le point base de l'un sur celui de l'autre.
  • Le quotient Y/A correspond au cas particulier de recollement dans lequel X est réduit à un point.
  • La « droite réelle avec un point double » est le recollement de deux copies de le long de l'ouvert ℝ*.

Description catégorique

Le recollement est un exemple de somme amalgamée dans la catégorie des espaces topologiques. En effet, X f Y est la solution du problème universel correspondant au diagramme commutatif suivant, où i est l'injection canonique :

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Adjunction space » (voir la liste des auteurs).
  1. Claude Godbillon, Éléments de topologie algébrique [détail de l’édition], p. 27.
  2. (en) « Adjunction space », sur PlanetMath.
  3. (en) I. M. James, General Topology and Homotopy Theory, Springer, (lire en ligne), p. 46.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

  • (en) Ronald Brown, Topology and Groupoids, BookSurge, , 3e éd., 512 p. (ISBN 978-1-4196-2722-4)
  • (en) Stephen Willard, General Topology, Mineola, N.Y., Dover, (1re éd. 1970), 369 p. (ISBN 978-0-486-43479-7, lire en ligne)
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