Application propre

Soient X et Y deux espaces topologiques. Une application f : X → Y est dite propre[2] si pour tout espace topologique Z, l'application f × id_Z : X × Z → Y × Z est fermée.

Plus précisément[2] :

• sans hypothèses sur f (ni sur X et Y) :
  • si f est propre alors elle est trivialement fermée ;
  • si f est propre alors l'image réciproque par f de tout quasi-compact (en particulier : de tout singleton) est quasi-compacte ;
• si f est continue et fermée et si l'image réciproque par f de tout singleton est quasi-compacte, alors f est propre ;
• si X est séparé, Y localement compact et f continue, et si l'image réciproque par f de tout compact est compacte, alors f est propre et X est localement compact.

Lorsque X et Y sont tous deux localement compacts, en considérant leurs compactifiés d'Alexandrov, la condition 3 se reformule en : quand x tend vers l'infini, f(x) tend vers l'infini.

La notion d'application propre jouit des propriétés suivantes[2] :

• toute composée d'applications propres est propre ;
• tout produit f×g : X₁×X₂ → Y₁×Y₂ d'applications propres est propre ;
• si f : X → Y est propre alors sa restriction-corestriction, de f ^-1(T) dans T, l'est aussi, pour toute partie T de Y ;
• si f : X → Y est propre alors sa restriction F → Y à tout fermé F de X l'est aussi ;
• toute injection continue et fermée est propre ;
• si g ◦ f est propre et si f est surjective et continue, alors g est propre ;
• si g ◦ f est propre et si g est injective et continue, alors f est propre ;
• si f : X → Y et g : Y → Z sont continues et g ◦ f propre et Y séparé, alors f est propre ;
• si X est quasi-compact alors, pour tout espace Z, la projection X×Z → Z est propre ;
• si l'application de X dans l'espace réduit à un point est propre, alors X est quasi-compact ;
• toute application continue d'un espace quasi-compact dans un espace séparé est propre.

Pour tout groupe topologique G agissant continûment et proprement sur un espace topologique X, le quotient X/G est séparé[3].