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Cofinalité

ConsidĂ©rons un ensemble A muni d'une relation binaire ≀. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si :

pour tout Ă©lĂ©ment a de A, il existe un Ă©lĂ©ment b de B tel que a ≀ b ;
∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≀ b.

La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A.

La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou [1].

Intuitivement, est le plus petit nombre de pas Ă  faire pour arriver au bout de .

Par exemple, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction identité, mais on ne peut pas aller au bout de en un nombre fini de pas. On a donc .

Un cardinal qui est égal à sa cofinalité, comme ici, , est appelé cardinal régulier.

De mĂȘme, on peut aller au bout de en pas mais on ne peut pas le faire en un nombre dĂ©nombrable de pas. On a donc ; qui est donc aussi un cardinal rĂ©gulier.

En revanche, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction définie par , donc .

Un cardinal qui n'est pas régulier, c'est-à-dire qui n'est pas égal à sa cofinalité, comme ici est appelé cardinal singulier.

Propriétés

Pour tout ordinal limite , on a les propriétés suivantes :

  • existe ;
  • est un cardinal ;
  • est rĂ©gulier, autrement dit ;
  • Si et alors est bornĂ© ;
  • si est un ordinal limite, alors ; par exemple, .

Pour tout cardinal infini , on a les propriétés suivantes :

  • , c'est une consĂ©quence du thĂ©orĂšme de König ;
  • pour tout cardinal , ; pour et , on obtient , on a donc en particulier ; ceci est Ă©galement une consĂ©quence du thĂ©orĂšme de König.

La cofinalité des cardinaux permet de mettre en évidence certaines différences de comportements. Par exemple, vis-à-vis de l'exponentiation cardinale, William B. Easton (en) a essentiellement prouvé que, pour les cardinaux réguliers, les seules contraintes prouvables dans sur la fonction sont et [2]. Pour les cardinaux singuliers, la situation est différente. Notamment, Jack Silver (en) a démontré que si est singulier et de cofinalité non dénombrable, et si pour tout , alors [3].

Généralisations

On peut généraliser la notion de cofinalité à n'importe quel ensemble préordonné : si est un ensemble préordonné, la cofinalité de est le plus petit cardinal d'une partie cofinale dans , c'est-à-dire telle que pour tout il existe tel que .

Par exemple, si est l'ensemble des fonctions de dans lui-mĂȘme muni du prĂ©ordre dĂ©fini par si et seulement si pour tout entier Ă  partir d'un certain rang, alors la cofinalitĂ© de ce prĂ©ordre, notĂ© gĂ©nĂ©ralement et appelĂ© le nombre dominant (anglais : dominating number), est un cardinal compris entre et , mais sa valeur exacte ne peut pas ĂȘtre dĂ©terminĂ©e dans l'axiomatique usuelle de la thĂ©orie des ensembles, ZFC.

La théorie PCF (en), introduite par Saharon Shelah, étudie les cofinalités possibles des ultraproduits de certains ensembles ordonnés. Cela lui a permis de démontrer de nouvelles inégalités sur l'exponentiation cardinale, comme par exemple, [4].

Références

  1. MyiLibrary (Service en ligne), Set theory, Springer (ISBN 978-3-540-44085-7 et 3-540-44085-2, OCLC 757105116, lire en ligne)
  2. (en) William Bigelow Easton, « Powers of regular cardinals », Annals Of Mathematical Logic, vol. 1, no 2,‎ , p. 139-178 (lire en ligne)
  3. (en) Jack Silver, « On the singular cardinals problem », Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. 1,‎ (265-268)
  4. Shelah Saharon, Cardinal arithmetic, Clarendon Press, , 481 p. (ISBN 978-0-19-853785-4, OCLC 909512480, lire en ligne)


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