Cardinal régulier

En théorie des ensembles, un cardinal infini est dit régulier s'il est égal à sa cofinalité. Intuitivement, un cardinal ${\displaystyle \kappa }$ est régulier si toute réunion indexée par un ensemble petit d'ensembles petits est petite, où un ensemble est dit petit s'il est de cardinalité strictement inférieure à ${\displaystyle \kappa }$. Une autre définition possible équivalente est que ${\displaystyle \kappa }$ est régulier si pour tout cardinal ${\displaystyle \lambda <\kappa }$, toute fonction ${\displaystyle f:\lambda \rightarrow \kappa }$ est bornée[1]. Un cardinal qui n'est pas régulier est dit singulier.

Par exemple, pour ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}$, petit signifie fini, or toute réunion indexée par un ensemble fini d'ensembles finis est finie, donc ${\displaystyle \aleph _{0}}$ est un cardinal régulier. Pour ${\displaystyle \kappa =\aleph _{1}}$, petit signifie dénombrable, or, sous l'axiome du choix dénombrable, toute réunion indexée par un ensemble dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, donc ${\displaystyle \aleph _{1}}$ est régulier. On peut montrer, sous l'axiome du choix, qu'il en est de même pour tout cardinal successeur : si ${\displaystyle \alpha }$ est un ordinal, alors  ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$ est régulier. C'est une conséquence simple du fait que ${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{2}=\aleph _{\alpha }}$. Un cardinal singulier est nécessairement un cardinal limite. Une question naturelle se pose : la réciproque est-elle vraie ? Un contre-exemple à cette réciproque, c'est-à-dire un cardinal limite et régulier, est appelé cardinal faiblement inaccessible.

Le premier cardinal singulier est ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$. En effet, ${\displaystyle \aleph _{\omega }=\bigcup _{n\in \omega }\aleph _{n}}$, il peut donc s'écrire comme une réunion indexée par un ensemble dénombrable d'ensembles de cardinalité strictement inférieure.

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