Cardinal limite

On peut construire des cardinaux faiblement limites simplement en prenant ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ avec ${\displaystyle \alpha }$ un ordinal limite, comme ${\displaystyle \omega ,\omega ^{2}}$ ou encore ${\displaystyle \epsilon _{0}}$, avec ${\displaystyle \omega }$ le premier ordinal infini.

Pour obtenir des cardinaux fortement limite, on peut utiliser les nombres Beth (${\displaystyle \beth }$) définis par induction :

$${\displaystyle {\begin{cases}\beth _{0}=\aleph _{0}\\\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}&{\text{si }}\alpha {\text{ est un ordinal}}\\\beth _{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }{\beth _{\alpha }}&{\text{si }}\lambda {\text{ est un ordinal limite}}\end{cases}}}$$

On remarque alors que pour tout ordinal limite ${\displaystyle \lambda }$, le cardinal ${\displaystyle \beth _{\lambda }}$ sera fortement limite, puisque pour tout ${\displaystyle \kappa <\beth _{\lambda }}$, il existe ${\displaystyle \alpha <\lambda }$ tel que ${\displaystyle \kappa <\beth _{\alpha }}$ donc ${\displaystyle 2^{\kappa }<2^{\beth _{\alpha }}=\beth _{\alpha +1}<\beth _{\lambda }}$. Il existe donc des cardinaux fortement limites aussi grands qu'on le souhaite.

Si l'on suppose l'axiome du choix (AC), tous les cardinaux infinis sont des alephs. Dans ce cas, les cardinaux faiblement limites sont exactement ceux s'écrivant ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ avec ${\displaystyle \lambda }$ un ordinal limite. Sinon, il faut aussi rajouter les cardinaux infinis qui ne sont pas des alephs, c'est-à-dire ceux qui ne sont en bijection avec aucun ordinal. Si l'axiome du choix est faux, de tels cardinaux existent puisque le contraire du théorème de Zermelo est vrai.

En supposant l'hypothèse généralisé du continu (GCH), c'est-à-dire que pour tout cardinal ${\displaystyle \kappa }$, il n'existe pas de cardinal ${\displaystyle \mu }$ tel que ${\displaystyle \kappa <\mu <2^{\kappa }}$alors un cardinal faiblement limite est toujours fortement limite. En effet, GCH implique que tous les cardinaux infinis sont des alephs (Sierpiński[1]). Ainsi, si un cardinal ${\displaystyle \lambda }$ n'est pas fortement limite, il existe un ensemble ${\displaystyle \kappa <\lambda }$ tel que ${\displaystyle \lambda \leq 2^{\kappa }}$, donc d'après GCH, ${\displaystyle \lambda =2^{\kappa }}$ et c'est le cardinal successeur de ${\displaystyle \kappa }$.

Ces notions servent à définir les notions de cardinaux inaccessibles. Intuitivement, un cardinal est inaccessible si l'on ne peut pas le construire à partir de cardinaux plus petits. Un cardinal faiblement limite est donc inaccessible avec l'opération "successeur" et un cardinal fortement limite est inaccessible avec l'opération "ensemble des parties de". De la même manière, un cardinal régulier est inaccessible avec l'opération d'union. Ces notions combinées définissent donc l'inaccessibilité (faible ou forte) des cardinaux.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Limit cardinal » (voir la liste des auteurs).