Cardinal inaccessible

Un cardinal infini ℵ_α est :

• soit ℵ₀ si α = 0 ;
• soit limite (au sens faible) si α est un ordinal limite ;
• soit successeur de ℵ_β si α = β + 1.

On dit qu'un ordinal α est cofinal avec un ordinal β inférieur si β a le type d'ordre d'une partie cofinale de α, c'est-à-dire s'il existe une application strictement croissante f de β dans α tel que α soit la limite de f au sens suivant : ${\displaystyle \forall \gamma \in \alpha ,\exists \delta \in \beta ,\gamma \leq f(\delta )}$.

On dit qu'un cardinal est régulier s'il n'est cofinal avec aucun cardinal strictement plus petit, et qu'il est singulier dans le cas contraire. Tout cardinal infini singulier est limite.

On dit qu'un cardinal infini ℵ_α, non dénombrable[1], est faiblement inaccessible s'il est régulier et limite (au sens faible ci-dessus) et qu'il est fortement inaccessible (ou simplement inaccessible) s'il est régulier et limite au sens plus fort suivant : ${\displaystyle \mathrm {card} (x)<\aleph _{\alpha }\Rightarrow 2^{\mathrm {card} (x)}<\aleph _{\alpha }}$. Si l'on admet l'hypothèse généralisée du continu[2], les deux notions se confondent.

Beaucoup d'axiomes de grands cardinaux se généralisent sous la forme « il existe une classe propre de cardinaux ayant la propriété P », où P est une propriété de grand cardinal ; on voit aisément que cela équivaut à « pour tout cardinal α, il existe un cardinal β tel que α < β et P(β) ». Dans le cas de l'inaccessibilité, l'axiome correspondant est donc « pour tout cardinal μ, il existe un cardinal inaccessible κ tel que μ < κ » ; les arguments précédents montrent qu'il s'agit là d'un axiome beaucoup plus fort que la simple existence d'un seul cardinal inaccessible. En supposant ZFC, cet axiome est équivalent à l'axiome des univers de Grothendieck et Verdier : tout ensemble est contenu dans un univers de Grothendieck, c'est-à-dire dans un ensemble « stable » pour les opérations ensemblistes usuelles. La théorie formée des axiomes de ZFC et de l'axiome des univers est notée ZFCU ; ce système axiomatique est utile en particulier en théorie des catégories, où il permet de montrer, par exemple, que toute catégorie localement petite possède un plongement de Yoneda. Cet axiome reste cependant relativement faible (en tant qu'axiome de grand cardinal), puisque dans le langage de la section suivante, il revient à dire que ∞ est 1-inaccessible, où ∞ désigne le plus petit ordinal non dans V, c'est-à-dire la classe de tous les ordinaux du modèle V choisi.

Si α est un ordinal quelconque, un cardinal κ est dit α-inaccessible si κ est inaccessible et si pour tout ordinal β < α, l'ensemble des cardinaux β-inaccessibles inférieurs à κ n'est pas majoré dans κ, et donc de cardinal κ, puisque κ est régulier.

Les cardinaux α-inaccessibles sont des points fixes des fonctions comptant les inaccessibles d'ordre inférieur. Par exemple, soit ψ₀(λ) le λ-ième cardinal inaccessible ; alors les points fixes de ψ₀ sont les cardinaux 1-inaccessibles. Par récurrence transfinie, soit ψ_β(λ) le λ-ième cardinal β-inaccessible, alors les points fixes de ψ_β sont les cardinaux (β+1)-inaccessibles (les valeurs de ψ_β+1(λ)) ; si α est un ordinal limite, un cardinal α-inaccessible est un point fixe de chaque ψ_β pour β < α (la valeur ψ_α(λ) étant le λ-ième cardinal ayant cette propriété).

On voit facilement que l'axiome des univers implique l'existence d'ordinaux α tels qu'il y ait α ordinaux inaccessibles plus petits (mais ils ne sont pas forcément inaccessibles eux-mêmes, et donc, d'après la définition, pas forcément 1-inaccessibles) ; en effet la fonction φ₀ donnant le plus petit ordinal α = φ₀(β) tel qu'il y ait β ordinaux inaccessibles < α est normale (en) (contrairement à ψ₀), et satisfait donc au théorème du point fixe (en) (pour les ordinaux). En revanche, l'existence d'un ordinal 1-inaccessible est strictement plus forte que l'axiome des univers, comme on l'a vu à la section précédente : si α est le plus petit ordinal 1-inaccessible, V_α est un modèle de ZFCU ne contenant pas de cardinaux 1-inaccessibles. Plus généralement, le même argument montre que si α < β, l'axiome affirmant l'existence d'un cardinal β-inaccessible est strictement plus fort que l'axiome affirmant l'existence d'une classe propre d'ordinaux α-inaccessibles (voir à ce sujet la hiérarchie de cohérence relative des axiomes de grands cardinaux).

Un cardinal κ est dit hyper-inaccessible si κ est κ-inaccessible (il ne peut bien sûr pas être κ+1-inaccessible). Comme précédemment, pour tout ordinal α, on dit qu'un cardinal κ est α-hyper-inaccessible si κ est hyper-inaccessible et si pour tout β < α, l'ensemble des β-hyper-inaccessibles inférieurs à κ n'est pas majoré dans κ. Généralisant ces constructions à la notion d'hyper-hyper-inaccessible (les cardinaux κ qui sont κ-hyper-inaccessibles), puis d'α-hyper-hyper-inaccessible, etc., on aboutit aux cardinaux richement inaccessibles[11], lesquels sont les cardinaux κ qui sont hyper^κ-inaccessibles.

D'une part, un cardinal κ est inaccessible si et seulement si κ a la propriété réflexive (en) suivante : pour tous les sous-ensembles U ⊂ V_κ, il existe α < κ tel que ${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$ est une sous-structure élémentaire de ${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,U)}$ (en fait, l'ensemble de ces α est fermé et non majoré dans κ). Cela équivaut à dire que κ est ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$-indescriptible (en) pour tous les n ≥ 0.

On peut démontrer dans ZF que ∞ satisfait une propriété réflexive un peu plus faible, pour laquelle la sous-structure (V_α, ∈, U ∩ V_α) n'est exigée « élémentaire » que par rapport à un sous-ensemble fini de formules. La raison ultime de cet affaiblissement est qu'alors que la relation de satisfiabilité ${\displaystyle \models }$ (au sens de la théorie des modèles) peut être définie, la notion de vérité elle-même ne peut l'être, à cause du théorème de Tarski.

D'autre part, ZFC permet de montrer que κ est inaccessible si et seulement si (V_κ, ∈) est un modèle de ZFC au sens de la logique du second ordre. Alors, d'après la propriété de réflexivité précédente, il existe α < κ tel que (V_α, ∈) est un modèle standard de ZFC (considéré comme une théorie du premier ordre). Ainsi, l'existence d'un cardinal inaccessible est une hypothèse plus forte que celle de l'existence d'un modèle standard de ZFC.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inaccessible cardinal » (voir la liste des auteurs).
• René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions], chapitre 7 — Pour une introduction, hiérarchie de von Neumann, cardinaux fortement inaccessibles.
• (en) F. R. Drake, Set Theory : An Introduction to Large Cardinals, Amsterdam, Elsevier Science, coll. « Studies in Logic and the Foundations of Mathematics » (n^o 76), 1974, 351 p. (ISBN 978-0-444-10535-6)
• (en) Akihiro Kanamori, The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings, Berlin, Springer, 2003, 2^e éd., 536 p. (ISBN 978-3-540-00384-7, lire en ligne)
• (en) Kenneth Kunen, Set Theory : An Introduction to Independence Proofs, Amsterdam/New York/Oxford, North-Holland, 1980, 313 p. (ISBN 0-444-85401-0)
• Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles [détail des éditions]
• (de) Felix Hausdorff, « Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen », Mathematische Annalen, vol. 65, n^o 4,‎ 1908, p. 435–505 (DOI 10.1007/BF01451165)
• Wacław Sierpiński et Alfred Tarski, « Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles », Fundamenta Mathematicae, vol. 15,‎ 1930, p. 292–300 (ISSN 0016-2736, lire en ligne)
• (de) Ernst Zermelo, « Über Grenzzahlen und Mengenbereiche », Fundamenta Mathematicae, vol. 16,‎ 1930, p. 29-47 (lire en ligne)

Grand cardinal