Univers de Grothendieck

En mathématiques, un univers de Grothendieck est un ensemble U ayant les propriétés suivantes[1] :

si x appartient à U et si y appartient à x, alors y appartient à U (on dit que U est un ensemble transitif) ;
si x et y appartiennent à U alors {x, y} aussi ;
si x appartient à U, alors l'ensemble P(x) des parties de x aussi ;
si (x_i)_i∈I est une famille d'éléments de U et si I appartient à U, alors l'union ⋃_i∈I x_i appartient à U.

Alexandre Grothendieck a introduit et utilisé cette idée pour éviter les classes propres en géométrie algébrique.

Les univers de Grothendieck non dénombrables fournissent des modèles de la théorie des ensembles. Dans ZFC, leur existence n'est pas démontrable, puisqu'elle équivaut à l'existence de cardinaux (fortement) inaccessibles non dénombrables.

La théorie des ensembles de Tarski-Grothendieck (en) est une extension propre de ZFC dans laquelle tout ensemble appartient à au moins un univers de Grothendieck. Le concept d'univers de Grothendieck peut aussi être défini dans un topos[2].

Propriétés

Toute intersection non vide d'univers est un univers.

L'intersection V_ω des univers non vides est un ensemble dénombrable d'ensembles finis arbitrairement grands : les ensembles héréditairement finis (en), définis récursivement en extension à partir de ∅, comme ∅, {∅} ou { {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}} }[1].

Si U est un univers de Grothendieck, alors[1] :

toute partie d'un élément de U appartient à U ;
les produits finis[3] et les réunions finies d'éléments de U appartiennent à U ;
si (x_i)_i∈I est une famille d'éléments de U et si I appartient à U, alors le produit ∏_i∈I x_i et l'union disjointe ∐_i∈I x_i appartiennent à U ;
si x est une partie de U dont le cardinal est majoré par celui d'un élément de U, alors x appartient à U ;
le cardinal |x| de tout élément x de U est strictement inférieur à |U|.

Lien avec les cardinaux inaccessibles

Un cardinal infini c est dit (fortement) inaccessible si c'est un cardinal limite (au sens fort : pour tout cardinal κ < c, 2^κ < c) et régulier.

Dans ZFC, les deux propositions indécidables suivantes sont équivalentes :

(U) Tout ensemble appartient à au moins un univers de Grothendieck.

Démonstration[1]

(U) ⇒ (C). Soient κ un cardinal, U un univers auquel il appartient, et c := sup_x∈U |x|. Alors, les cardinaux strictement majorés par c sont exactement les cardinaux d'éléments de U. Il en résulte que κ < c et que c est un cardinal inaccessible.
(C) ⇒ (U). Soient x un ensemble, A₀ := x et pour tout n, A_n+1 := la réunion des éléments de A_n, puis κ un cardinal inaccessible majorant strictement le cardinal de la réunion B des A_n. On définit ensuite, par récursion transfinie, B_α pour tout ordinal α < κ, par : B_∅ = B, B_α+1 = B_α∪P(B_α) et si α est un ordinal limite, B_α = la réunion des B_λ pour λ < α, et l'on note U la réunion de tous ces B_α. On démontre alors, par induction transfinie, que tous ces B_α, et même tous les éléments de U, sont de cardinal < κ puis, que U est un univers.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Grothendieck universe » (voir la liste des auteurs).

Nicolas Bourbaki, « Univers », dans Michael Artin, Alexandre Grothendieck et Jean-Louis Verdier, Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4), vol. 1, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 269), 1972 (lire en ligne), p. 185-217.
(en) Thomas Streicher (en), « Universes in Toposes », dans From Sets and Types to Topology and Analysis: Towards Practicable Foundations for Constructive Mathematics, Clarendon Press, 2006 (ISBN 9780198566519, lire en ligne), p. 78-90.
Définis à partir du codage ensembliste des couples.

Voir aussi

Bibliographie

Pierre Gabriel, « Des catégories abéliennes », Bulletin de la SMF, vol. 90,‎ 1962, p. 323-448 (lire en ligne)

Articles connexes

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