Théorème de Zermelo

Soient E un ensemble bien ordonné, et P(E) l'ensemble de ses parties. Alors, on définit une fonction de choix sur P(E)\{⌀} en associant, à chaque partie non vide de E, son plus petit élément (l'existence d'une telle fonction est un des énoncés possibles de l'axiome du choix).

Soit E un ensemble, soit M l'ensemble des relations de bon ordre sur une partie de E. M lui-même peut être muni d'un ordre partiel : on dit qu'un bon ordre o₁ est inférieur ou égal à un bon ordre o₂ si o₁ est un segment initial de o₂. On vérifie ensuite que M muni de cette relation est un ensemble inductif. Toute chaîne de M admet un majorant (qui est même une borne supérieure) : la relation dont le graphe est la réunion des graphes des ordres de la chaîne. On vérifie que cette relation est bien une relation de bon ordre (on exploite le fait que la chaîne est ordonnée par segment initial). Donc M admet un élément maximal. Un tel élément maximal est alors un bon ordre sur tout E (on pourrait sinon le prolonger en un bon ordre successeur, ce qui contredirait la maximalité).

Le lemme de Zorn implique donc l'axiome du choix (une preuve directe, sur le même principe, en est donnée dans l'article sur le lemme de Zorn). Réciproquement :