Accueil🇫🇷Chercher

Espace normal

En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze. Tout espace métrisable est normal.

Un espace topologique séparé X est dit normal lorsque, pour tous fermés disjoints E et F de X, il existe des ouverts disjoints U et V tels que U contienne E et V, F.

DĂ©finition

Soit X un espace topologique. On dit que X est normal[1] s'il est séparé et s'il vérifie de plus l'axiome de séparation T4[2] :

pour tous fermés disjoints F et G, il existe deux ouverts disjoints U et V tels que F soit inclus dans U et G dans V.

Exemples

Propriétés

Propriétés élémentaires

  • Si deux espaces topologiques sont homĂ©omorphes et si l'un d'eux est normal, l'autre l'est aussi.En effet la propriĂ©tĂ© d'ĂŞtre normal est, comme tous les axiomes de sĂ©paration, formulĂ©e de façon Ă  ĂŞtre invariante par homĂ©omorphisme.
  • Tout fermĂ© d'un espace normal est normal (pour la topologie induite).Cette seconde assertion est, elle aussi, « immĂ©diate, Ă  partir de la remarque qu'une partie fermĂ©e d'un sous-espace fermĂ© est aussi fermĂ©e dans l'espace entier[5] ».

Conditions nécessaires et suffisantes

Il existe de nombreuses caractérisations de la propriété T4 (donc de la normalité, quand on impose de plus à l'espace d'être séparé). Ces caractérisations sont à l'origine des propriétés donnant de la valeur à la définition. Citons-en trois, dont la première n'est qu'une reformulation élémentaire mais les deux autres sont bien plus techniques :

  • Un espace topologique X est T4 si, et seulement si, pour tout fermĂ© F de X et tout ouvert O contenant F, il existe un ouvert U contenant F tel que l'adhĂ©rence de U soit incluse dans O[6] :
  • Lemme d'Urysohn : Un espace topologique X est T4 si, et seulement si, pour tous fermĂ©s disjoints F et G de X, il existe une fonction continue qui vaut 0 sur F et 1 sur G.
  • ThĂ©orème de prolongement de Tietze : Pour un espace topologique X, les trois propositions suivantes sont Ă©quivalentes :
    • X est T4 ;
    • pour tout fermĂ© F de X et toute application continue f de F dans â„ť, il existe une application continue de X dans â„ť qui prolonge f ;
    • pour tout fermĂ© F de X et toute application continue f de F dans un segment rĂ©el [–M, M], il existe une application continue de X dans [–M, M] qui prolonge f.
  • Un espace X est T4 (si et) seulement si tout recouvrement ouvert localement fini de X possède une partition de l'unitĂ© subordonnĂ©e.

Condition suffisante de non-normalité

Lemme de Jones (de)[7] - [8] — Pour qu'un espace sĂ©parable ne soit pas normal, il suffit qu'il contienne un sous-espace fermĂ© discret ayant la puissance du continu.

Par cet argument, le plan de Sorgenfrey et le plan de Moore ne sont pas normaux.

La non-normalité du plan de Sorgenfrey prouve que le produit de deux espaces normaux n'est pas toujours normal (voir aussi : Droite de Michael).

Histoire

Cette notion provient du mathĂ©maticien Heinrich Tietze et date de 1923[9]. Nicolas Bourbaki prĂ©cise Ă  son sujet : « Les travaux rĂ©cents ont mis en Ă©vidence que, dans ce genre de question (topologie algĂ©brique), la notion d'espace normal est peu maniable, parce qu'elle offre trop de possibilitĂ©s de « pathologie Â» ; on doit le plus souvent lui substituer la notion plus restrictive d'espace paracompact, introduite en 1944 par J. DieudonnĂ©[9]. »

Notes et références

  1. Serge Lang, Analyse RĂ©elle, Paris, InterEditions, , 230 p. (ISBN 978-2-7296-0059-4).
  2. Il suffit pour cela qu'il vérifie T1 et T4.
  3. F. Paulin Topologie, analyse et calcul différentiel, École Normale supérieure (2008-2009), p. 38.
  4. Lang 1977, p. 30.
  5. (en) James Dugundji, Topology, Allyn & Bacon, , 447 p. (ISBN 978-0-697-06889-7, lire en ligne), p. 145.
  6. Lang 1977, p. 36.
  7. (en) F. Burton Jones (en), « Concerning normal and completely normal spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 43, no 10,‎ , p. 671-677 (lire en ligne).
  8. (en) Peter J. Nyikos, « A history of the normal Moore space problem », dans C. E. Aull et R. Lowen, Handbook of the History of General Topology, vol. 3, Springer, (ISBN 978-0-79236970-7, Modèle:GoogleLivres), p. 1179-1212 : p. 1183.
  9. Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], éd. 2006, p. 205-206 ou N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. IX.128.

Voir aussi

Articles connexes

Ouvrage

(en) Michael Henle, A Combinatorial Introduction to Topology, Dover Publications, , 310 p. (ISBN 978-0-486-67966-2, lire en ligne)

Lien externe

(en) P. S. Aleksandrov, « Normal space », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.