Espace monotonement normal

Un espace T₁ X est dit monotonement normal lorsqu'il vérifie les propriétés équivalentes suivantes[2] - [3] - [4] - [5] :

1. il existe une base d'ouverts de X et une application H qui à tout ouvert U de la base et tout point x de U associe un ouvert H(x, U), telle que :
   • H(x, U) est inclus dans U et contient x,
   • et si H(x, U) rencontre H(y, V) alors x appartient à V ou y à U ;
2. il existe une application H qui associe plus généralement un ouvert H(x, U) à tout ouvert U et tout point x de U, qui vérifie les deux mêmes conditions et qui est croissante par rapport à U ;
3. il existe une application G qui à tous fermés disjoints A et B associe un ouvert G(A, B), telle que
   • ${\displaystyle A\subset G(A,B)\subset {\overline {G(A,B)}}\subset X\setminus B{\text{ et}}}$
   • ${\displaystyle \left(A\subset A'{\text{ et }}B\supset B'\right)\Rightarrow G(A,B)\subset G(A',B')}$

   (G peut alors être choisie telle que G(A, B) et G(B, A) soient toujours disjoints, en remplaçant chaque G(A, B) par G(A, B)\G(B, A)) ;

4. il existe une application G qui associe plus généralement un ouvert G(A, B) à toutes parties A et B « séparées » — c'est-à-dire telles que A ∩ B = ∅ = B ∩ A — et qui vérifie les deux mêmes conditions.

La première des quatre définitions équivalentes est commode pour traiter les trois exemples suivants[4] :

• tout ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre est monotonement normal[2], l'axiome du choix étant ici indispensable[6] ;
• tout espace métrisable est monotonement normal[7] ;
• la droite de Sorgenfrey (ni ordonnable, ni métrisable) aussi.

La première ou la deuxième des quatre définitions équivalentes montre que la normalité monotone est héréditaire, c'est-à-dire qu'elle passe aux sous-espaces.

La troisième justifie le nom de « monotonement normal » et a pour conséquence que X est collectivement normal[2] - [5].

On déduit de ces deux propriétés :

Tout espace monotonement normal est héréditairement collectivement normal.

En particulier, il est héréditairement normal, autrement dit complètement normal, ce qui se déduit aussi directement de la dernière des quatre définitions équivalentes.

Toute image d'un espace monotonement normal par une application continue fermée est monotonement normale[2] - [5].

Démonstration

Soient X monotonement normal et f : X → Y une surjection continue fermée. Alors Y est un espace T₁ et si G est une application vérifiant la définition 3 pour X alors l'application G' suivante la vérifie pour Y : pour tous fermés disjoints S et T de Y,${\displaystyle G'(S,T)=Y\setminus f\left(X\setminus G(f^{-1}(S),f^{-1}(T))\right).}$

Une conjecture de Jacek Nikiel (pl), démontrée par Mary Ellen Rudin[8], fournit une forme de réciproque : tout espace compact monotonement normal est l'image continue d'un compact ordonnable.