Ensemble totalement ordonné

Soit ${\displaystyle E}$ un ensemble muni d'une relation d'ordre ${\displaystyle \preceq }$. Rappelons que toute relation d'ordre ${\displaystyle \preceq \,}$ vérifie les propriétés suivantes :

• (réflexivité) ${\displaystyle \forall x,\ x\preceq x}$ ;
• (transitivité) ${\displaystyle \forall x,y,z,\ {\bigl (}x\preceq y\mathrm {\ et\ } y\preceq z{\bigr )}\Rightarrow x\preceq z}$ ;
• (antisymétrie) ${\displaystyle \forall x,y,\ {\bigl (}x\preceq y\mathrm {\ et\ } y\preceq x{\bigr )}\Rightarrow x=y}$.

${\displaystyle (E,\preceq )}$ est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les éléments de ${\displaystyle (E,\preceq )}$ sont comparables pour ${\displaystyle \preceq }$ :

• ${\displaystyle \forall x,y,\ {\bigl (}x\preceq y\mathrm {\ ou\ } y\preceq x{\bigr )}}$.

1. L'ensemble ${\displaystyle E={\bigl \{}\ \emptyset ,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}{\bigr \}}}$ des parties de ${\displaystyle \{1,2\}}$ est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant, ${\displaystyle E}$ n'est pas totalement ordonné : ${\displaystyle \{1\}}$ et ${\displaystyle \{2\}}$ ne sont pas comparables au sens de l'inclusion.
2. L'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle ${\displaystyle \leq }$ est totalement ordonné.