Espace collectivement normal

En mathématiques, un espace topologique X est dit collectivement normal[1] s'il vérifie la propriété de séparation suivante, strictement plus forte que la normalité[2] et plus faible que la paracompacité :

X est séparé[3] et pour toute famille discrète[4] (F_i)_i∈I de fermés de X, il existe une famille (U_i)_i∈I d'ouverts disjoints[5] telle que pour tout i, F_i ⊂ U_i.

Tout sous-espace F_σ — en particulier tout fermé — d'un espace collectivement normal est collectivement normal.

Tout espace monotonement normal — en particulier tout espace métrisable — est (héréditairement) collectivement normal. Un espace collectivement normal n'est pas nécessairement dénombrablement paracompact[6]. Cependant, un théorème de Robert Lee Moore établit que tout espace de Moore collectivement normal est métrisable.

Notes et références

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. IX.106], ex. 24, aperçu sur Google Livres.
(en) R. H. Bing, « Metrization of topological spaces », Canad. J. Math., vol. 3,‎ 1951, p. 175-186 (lire en ligne), Theorem 14.
Compte tenu de la suite de la définition, il revient au même d'imposer seulement la condition T₁ : cf. Espace collectivement séparé (en).
Une famille (F_i)_i∈I de parties de X est dite discrète si tout point de X possède un voisinage qui rencontre au plus un F_i (Bourbaki, op. cit.).
La famille (U_i)_i∈I peut alors même être choisie discrète elle aussi : (en) Jun-iti Nagata, Modern General Topology, Elsevier, 1985, 3^e éd., 521 p. (ISBN 978-0-08-093379-5, lire en ligne), p. 209.
Nagata 1985, p. 214.

(en) Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann (de), 1989, 529 p. (ISBN 978-3-88538-006-1)
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Collectionwise normal space » (voir la liste des auteurs).

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