Faisceau (de modules)

Sur un espace localement annelé ${\displaystyle (X,O_{X})}$, un faisceau de ${\displaystyle O_{X}}$-modules (ou un ${\displaystyle O_{X}}$-Module) est un faisceau ${\displaystyle F}$ sur ${\displaystyle X}$ tel que ${\displaystyle F(U)}$ soit un ${\displaystyle O_{X}(U)}$-module pour tout ouvert ${\displaystyle U}$, et que pour tout ouvert ${\displaystyle V}$ contenu dans ${\displaystyle U}$, l'application restriction ${\displaystyle F(U)\to F(V)}$ soit compatible avec les structures de modules: pour tous ${\displaystyle a\in O_{X}(U),f\in F(U)}$, on a

${\displaystyle (af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}}$.

Les notions de sous-${\displaystyle O_{X}}$-modules et de morphismes de ${\displaystyle O_{X}}$-modules sont claires.

• Le faisceau structural ${\displaystyle O_{X}}$ est un faisceau de ${\displaystyle O_{X}}$-modules. Les sous-modules de ${\displaystyle O_{X}}$ sont des faisceaux d'idéaux de ${\displaystyle O_{X}}$.
• Si ${\displaystyle f:F\to G}$ est un morphisme de faisceaux de ${\displaystyle O_{X}}$-modules, alors le noyau, l'image et le conoyau de ${\displaystyle f}$ sont des faisceaux de ${\displaystyle O_{X}}$-modules. Le quotient de ${\displaystyle G}$ par un

sous-${\displaystyle O_{X}}$-Module est un ${\displaystyle O_{X}}$-Module.

• Si ${\displaystyle I}$ est un ensemble d'indice, la somme directe ${\displaystyle O_{X}^{(I)}}$ est définie sur chaque ouvert ${\displaystyle U}$ comme étant ${\displaystyle O_{X}(U)^{(I)}}$, la somme directe de copies de ${\displaystyle O_{X}(U)}$ indexées par ${\displaystyle I}$. C'est un faisceau de ${\displaystyle O_{X}}$-modules libre. Un faisceau de ${\displaystyle O_{X}}$-modules ${\displaystyle F}$ est dit localement libre (de rang ${\displaystyle r}$) si tout point de ${\displaystyle X}$ possède un voisinage ouvert sur lequel ${\displaystyle F}$ est libre (de rang ${\displaystyle r}$).
• Si ${\displaystyle F,G}$ sont des faisceaux de ${\displaystyle O_{X}}$-modules, on définit le faisceau des morphismes de ${\displaystyle F}$ dans ${\displaystyle G}$ par${\displaystyle U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U))}$(le ${\displaystyle O_{X}(U)}$-module des applications linéaires ${\displaystyle F(U)\to G(U)}$). Le dual de ${\displaystyle F}$ est le faisceau des morphismes de ${\displaystyle F}$ dans ${\displaystyle O_{X}}$.
• Le faisceau associé au préfaisceau ${\displaystyle U\to F(U)\otimes _{O_{X}(U)}G(U)}$ est noté ${\displaystyle F\otimes _{O_{X}}G}$. Ses germes en ${\displaystyle x}$ est canoniquement isomorphe à ${\displaystyle F_{x}\otimes _{O_{X,x}}G_{x}}$.
• Soit ${\displaystyle g:X\to Y}$ un morphisme d'espaces localement annelés. Soit ${\displaystyle F}$ un faisceau de ${\displaystyle O_{X}}$-modules. Alors l'image directe ${\displaystyle g_{*}F}$ est un faisceau de ${\displaystyle O_{Y}}$-module.
• Soit ${\displaystyle G}$ un faisceau de ${\displaystyle O_{Y}}$-modules. On définit l'image réciproque ${\displaystyle g^{*}G}$ (à distinguer de l'image réciproque ${\displaystyle g^{-1}G}$) comme étant le produit tensoriel ${\displaystyle g^{-1}G\otimes _{g^{-1}(O_{Y})}O_{X}}$. On a ${\displaystyle (g^{*}G)_{x}}$ isomorphe à ${\displaystyle G_{f(x)}\otimes _{O_{Y,f(x)}}O_{X,x}}$ pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle X}$.

On dit qu'un faisceau de ${\displaystyle O_{X}}$-modules ${\displaystyle F}$ est engendré par ses sections globales si pour tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, l'image de l'homomorphisme canonique ${\displaystyle F(X)\to F_{x}}$ engendre ${\displaystyle F_{x}}$ comme ${\displaystyle O_{X,x}}$-module. Cela équivaut à dire qu'il existe un morphisme surjectif de faisceaux de ${\displaystyle O_{X}}$-modules ${\displaystyle L\to F}$, où ${\displaystyle L}$ est un faisceau de ${\displaystyle O_{X}}$-modules libre.

On dit que ${\displaystyle F}$ est quasi-cohérent si tout point de ${\displaystyle X}$ possède un voisinage ouvert dans lequel ${\displaystyle F}$ est un quotient d'un faisceau de ${\displaystyle O_{X}}$-module libre. Cela veut dire donc que tout point ${\displaystyle x}$ possède un voisinage ouvert ${\displaystyle V}$ tel que ${\displaystyle F|_{V}}$ soit engendré par ses sections ${\displaystyle F(V)}$.

On dit que ${\displaystyle F}$ est cohérent (en) si tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ possède un voisinage ${\displaystyle V}$ tel que ${\displaystyle F|_{V}}$ soit quotient d'un faisceau de ${\displaystyle O_{V}}$-modules libre de rang fini (on dit alors que ${\displaystyle F}$ est de type fini) et si pour tout ouvert ${\displaystyle U}$ et pour tout morphisme ${\displaystyle O_{U}^{r}\to F|_{U}}$, le noyau est de type fini.

A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, chap. 0, § 4-5