Degré (mathématiques)

Soit ${\displaystyle A}$ un anneau. L'anneau des polynômes à une indéterminée sur ${\displaystyle A}$ est ${\displaystyle A[X]}$, soit ${\displaystyle P}$ un polynôme à coefficients dans ${\displaystyle A}$.

Le degré de ${\displaystyle P}$, noté ${\displaystyle \deg(P)}$ ou ${\displaystyle d^{\circ }(P)}$ est défini par :

• Si ${\displaystyle P=0}$, ${\displaystyle \deg(P)=-\infty }$
• Sinon, pour ${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_{1}X+a_{0}}$, on définit : ${\displaystyle \deg(P)=\sup\{n\in \mathbb {N} ,a_{n}\neq 0\}}$

Par exemple, ${\displaystyle \deg(3X^{5}-2X^{4}+8X-2)=5}$

Soient ${\displaystyle A}$ un anneau et ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. L'anneau des polynômes à ${\displaystyle n}$ indéterminées sur ${\displaystyle A}$ est ${\displaystyle A[X_{1},X_{2},...,X_{n}]}$

Le degré du polynôme nul est toujours ${\displaystyle -\infty }$.

Sinon on considère l'ensemble des « sommes des exposants des indéterminées » dans chaque terme. Le degré du polynôme est alors le plus grand élément de cet ensemble.

Par exemple : dans ${\displaystyle A[X,Y],\deg(X^{2}Y^{2}+3X^{3}+4Y)=4}$

Soit ${\displaystyle A}$ un anneau commutatif, unitaire, intègre. Le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur ${\displaystyle A}$ est ${\displaystyle A(X)}$. Soit ${\displaystyle F\in A(X)}$. Il existe ${\displaystyle N\in A[X]}$ et ${\displaystyle D\in A[X]\setminus \{0\}}$ tel que ${\displaystyle F={\tfrac {N}{D}}}$.

La grandeur ${\displaystyle \deg(A)-\deg(B)\in \mathbb {Z} \cup \{-\infty \}}$ est indépendante du représentant ${\displaystyle {\tfrac {N}{D}}}$ choisi pour ${\displaystyle F}$.

On définit alors ${\displaystyle \deg(F)=\deg(A)-\deg(B)}$, noté ${\displaystyle \deg(F)}$ ou ${\displaystyle d^{\circ }(F)}$.

• ${\displaystyle \forall (P,Q)\in (A(X))^{2},\deg(P+Q)\leq \sup\{\deg(P),\deg(Q)\}}$
• Si ${\displaystyle A}$ est intègre, ${\displaystyle \forall (P,Q)\in (A(X))^{2},\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}$