K-théorie

C'est Alexandre Grothendieck qui a fait la première construction d'un groupe de K-théorie dans son travail sur le théorème maintenant connu comme le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch. Il a introduit la complétion de la catégorie additive des (classes d'isomorphisme de) faisceaux de groupes abéliens (munie de la somme directe) en utilisant des inverses formels. Cette idée a été reprise par Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch pour définir le groupe K(X) d'un espace topologique, en faisant la même construction pour les fibrés vectoriels. Cette construction a été la première « théorie cohomologique extraordinaire » en topologie algébrique. Son utilisation a été fondamentale pour la démonstration du célèbre « théorème de l'indice » de Michael Atiyah et Isadore Singer, travail qui a fait obtenir au premier auteur la Médaille Fields en 1966, et aux deux, le prix Abel en 2004.

Par ailleurs, Jean-Pierre Serre s'est appuyé sur l'analogie entre fibrés vectoriels et modules projectifs sur un anneau pour fonder la K-théorie algébrique en 1959. Ceci l'a conduit à signaler un problème ouvert[1] qu'on baptisa malgré lui la « conjecture de Serre » : Tout module projectif sur un anneau de polynômes d'un corps est un module libre. Cette conjecture a été prouvée en 1976, par Daniel Quillen et Andrei Suslin en utilisant des méthodes de K-théorie algébrique. Quillen a ensuite donné une définition satisfaisante des foncteurs Kⁿ, en utilisant de la théorie homotopique.

Outre les mathématiciens déjà mentionnés, Max Karoubi fait partie des fondateurs de la K-théorie.

• K(X × S²) = K(X) ⊗ K(S²) et K(S²) = ℤ[H]/(H − 1)², où H est la classe du fibré en droites tautologique sur S² = ℂP¹.
• ${\displaystyle {\tilde {K}}^{n+2}(X)={\tilde {K}}^{n}(X).}$
• ${\displaystyle \Omega ^{2}\mathrm {BU} \simeq \mathrm {BU} \times \mathbb {Z} .}$

La K-théorie d'une algèbre de Banach A (unitaire ou pas) et de son unitarisée A¹ sont reliées :

La K-théorie de la C*-algèbre des fonctions continues sur un espace compact Y se déduit ainsi de celle de la sous-algèbre des fonctions continues nulles en un point fixé y, autrement dit, de l'algèbre C₀(X) des fonctions continues nulles à l'infini sur le sous-espace localement compact X = Y\{y} (pour Y = Sⁿ, X = ℝⁿ).

On dispose par ailleurs du catalogue suivant[2] :

${\displaystyle A}$	${\displaystyle K_{0}(A)}$	${\displaystyle K_{1}(A)}$
${\displaystyle \mathbb {K} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \mathbb {B} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \mathbb {B} /\mathbb {K} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{2n})}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{2n+1})}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
${\displaystyle A_{\theta }}$	${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
${\displaystyle C_{r}^{*}(F_{n})}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$
${\displaystyle {\mathcal {T}}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(n-1)\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\infty }}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$

où

• ${\displaystyle \mathbb {K} }$ est la C*-algèbre des opérateurs compacts d'un espace de Hilbert non nul (de dimension finie ou infinie) ;
• ${\displaystyle \mathbb {B} }$ est la C*-algèbre des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert de dimension infinie ;
• ${\displaystyle A_{\theta }}$ est le tore non commutatif de dimension 2 associé à un nombre irrationnel ${\displaystyle \theta }$ ;
• ${\displaystyle C_{r}^{*}(F_{n})}$ est la C*-algèbre réduite (en) du groupe libre ${\displaystyle F_{n}}$ sur n éléments[3] ;
• ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est l'algèbre de Toeplitz ;
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\infty }}$ sont les algèbres de Cuntz (en) engendrées respectivement par n éléments et une infinité d'éléments.

La notion de tore non commutatif se généralise facilement aux dimensions supérieures. Ces tores non commutatifs ont la même K-théorie que leurs analogues commutatifs.

Soient A et B deux C*-algèbres avec A dans la classe du théorème des coefficients universels, donc nucléaire (de). Il existe alors une suite exacte courte de groupes abéliens ℤ₂-gradués[4] :

${\displaystyle 0\rightarrow K_{*}(A)\otimes K_{*}(B)\rightarrow K_{*}(A\otimes B)\rightarrow {\rm {Tor}}_{1}^{\mathbb {Z} }(K_{*}(A),K_{*}(B))\rightarrow 0,}$

où la première application non triviale est de degré 0 et la seconde de degré 1. Le foncteur Tor permet ainsi d'exprimer l'éventuel défaut de surjectivité du morphisme injectif.

Par exemple, puisque K₀(C(S¹)) = K₁(C(S¹)) = ℤ (sans torsion), l'algèbre C(S¹)^⊗n des fonctions continues sur le tore de dimension n a pour K-théorie : K₀ ⊕ εK₁ = (ℤ ⊕ εℤ)^⊗n (avec ε² = 1), soit ℤ^2n–1 ⊕ εℤ^2n–1.

En théorie des cordes, la K-théorie a fourni une bonne description des charges permises de D-branes.