Théorème des coefficients universels

La preuve utilise la technique classique de la chasse aux diagrammes, on la donne dans le cas de la cohomologie[13]. La preuve du cas de l'homologie est tout à fait similaire.

Soit ${\displaystyle (C_{\bullet },\delta )}$ un complexe de co-chaînes de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modules libres, on note ses co-cycles ${\displaystyle Z_{\bullet }}$ et ses co-bords ${\displaystyle B_{\bullet }}$. Puisque ${\displaystyle Z_{\bullet }}$ et ${\displaystyle B_{\bullet }}$ sont, en chaque degré, sous-modules d'un groupe abélien libre, ce sont des modules libres. Ainsi la suite exacte suivante est scindée :

$${\displaystyle 0\to Z_{p}\to C_{p}\to B_{p-1}\to 0}$$

On choisit donc une rétraction ${\displaystyle f:C_{\bullet }\to Z_{\bullet }}$, puis on applique le foncteur ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,G)}$ aux deux suites exactes

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0\to Z_{p}{\xrightarrow {i}}C_{p}{\xrightarrow {\partial }}B_{p-1}\to 0\\&0\to B_{p}{\xrightarrow {j}}Z_{p}{\xrightarrow {q}}H_{p}(C)\to 0\end{aligned}}}$$

Les propriétés du foncteur Ext permettent d'écrire ${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{p},G)\simeq \operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G))}$ et on obtient le diagramme commutatif suivant :

$${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&0&&0\\&&&&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &\operatorname {Hom} (H_{p},G)&{\xrightarrow {q^{*}}}&\operatorname {Hom} (Z_{p},G)&{\xrightarrow {j^{*}}}&\operatorname {Hom} (B_{p},G)\\&&&&f^{*}\downarrow \uparrow i^{*}&&\downarrow \partial ^{*}\\&&\operatorname {Hom} (C_{p-1},G)&{\xrightarrow {\delta }}&\operatorname {Hom} (C_{p},G)&{\xrightarrow {\delta }}&\operatorname {Hom} (C_{p+1},G)\\&&\downarrow i^{*}&&\uparrow \partial ^{*}\\&&\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G)&{\xrightarrow {j^{*}}}&\operatorname {Hom} (B_{p-1},G)&\to &\operatorname {Ext} (H_{p},G)&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&0&&0\end{matrix}}}$$

Dans ce diagramme, par construction, chaque ligne et chaque colonne est exacte. Par chasse aux diagrammes, on voit alors que ${\displaystyle H_{p}(C;G)\to \operatorname {Hom} (H_{p}(C),G)}$ (induite par ${\displaystyle i^{*}}$) admet une section, et donc est surjective. On montre de même (utilisant l'injectivité de ${\displaystyle \partial ^{*}}$) que ${\displaystyle \ker \left(H_{p}(C;G)\to \operatorname {Hom} (H_{p}(C),G)\right)\simeq \partial ^{*}(\operatorname {Hom} (B_{p-1},G))/\operatorname {Im} (\delta )\simeq \operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(i^{*}(\operatorname {Hom} (C_{p-1},G)))}$. L'injectivité de ${\displaystyle i^{*}}$ permet d'identifier ce dernier groupe à ${\displaystyle \operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G))}$ c'est-à-dire exactement ${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{p},G)}$

• On a, pour tout ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-module ${\displaystyle M}$, que ${\displaystyle \operatorname {Tor} (M,\mathbb {Q} )=0}$. Le théorème des coefficients universels montre alors que ${\displaystyle H_{i}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} \simeq H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$. En particulier, le plan projectif réel a sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ la même homologie qu'un point.
• Si ${\displaystyle H_{i-1}(X;G)}$ est un groupe abélien libre, alors ${\displaystyle H_{i}(X;G)\simeq H_{i}(X)\otimes G}$.
• Puisque pour tout groupe abélien de type fini ${\displaystyle H}$ on a ${\displaystyle \operatorname {Ext} \left(H,\mathbb {Z} \right)\simeq H_{\text{tors}}}$, on a par exemple que lorsque le groupe ${\displaystyle G}$ des coefficients est un corps, il n’ y a pas de torsion, et alors en tant qu'espaces vectoriels ${\displaystyle H_{i}\simeq H^{i}}$.
• Si ${\displaystyle X}$ est un CW-complexe avec un nombre fini de cellules en chaque dimension, alors ${\displaystyle H_{i}(X)}$ est de type fini et peut se décomposer sous la forme ${\displaystyle H_{i}(X)\simeq \mathbb {Z} ^{b_{i}}\oplus T_{i}}$ où ${\displaystyle T_{i}}$ est un groupe de torsion, et où le rang ${\displaystyle b_{i}}$ est appelé le ${\displaystyle i}$-ème nombre de Betti. En appliquant le théorème des coefficients universels, le foncteur Ext ne conservant que la torsion, on montre que ${\displaystyle H^{i}(X)\simeq \mathbb {Z} ^{b_{i}}\oplus T_{i-1}}$.
• La remarque précédente, combinée avec la dualité de Poincaré lorsque celle-ci s'applique (${\displaystyle X}$ variété orientée sans bord de dimension ${\displaystyle n}$), donne ${\displaystyle b_{i}=b_{n-i}}$.