Foncteur Ext

Soit A une catégorie abélienne. D'après le théorème de plongement de Mitchell, on peut toujours imaginer travailler avec une catégorie de modules. On se donne trois objets X, Y et Z et on considère la classe E des suites exactes courtes de la forme

${\displaystyle 0\to X\to Y\to Z\to 0}$.

On parle d'extension de Z par X. Deux extensions

${\displaystyle 0\to X\to Y\to Z\to 0}$

${\displaystyle 0\to X\to Y'\to Z\to 0}$

sont dites équivalente s'il existe un morphisme ${\displaystyle g:Y\to Y'}$ tel que le diagramme

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}$

commute, avec ${\displaystyle \operatorname {id} }$ le morphisme identité. D'après le lemme des cinq, g est alors un isomorphisme.

La classe E modulo cette relation d'équivalence forme un ensemble, que l'on note ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}(X,Z)}$, des (classes d') extensions de Z par X. On peut doter cet ensemble d'une structure de groupe abélien, avec la somme de Baer pour opération interne.

Soit R un anneau, on travaille dans la catégorie ModR des R-modules. Soit A un objet de ModR, soit T le foncteur Hom

${\displaystyle T(B)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$.

C'est un foncteur exact à gauche. Il possède donc des foncteurs dérivés à droite. On définit le foncteur Ext ainsi :

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)}$.

En particulier, ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{0}=\operatorname {Hom} }$.

De manière duale, on peut utiliser le foncteur Hom contravariant ${\displaystyle G(A)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$ et définir ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)}$. Les foncteurs Ext ainsi construits, et calculés par exemple à partir de résolutions injectives ou projectives, sont isomorphes.

• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]