Théorème de plongement de Mitchell

Précisément, le théorème s'énonce ainsi : pour A une petite catégorie abélienne, il existe un anneau R, unitaire et non commutatif en général, ainsi qu'un foncteur F: A → R-Mod, plein, fidèle et exact, de la catégorie A dans la catégorie des R-modules à gauche.

Ce foncteur F établit une équivalence entre A et une sous catégorie pleine de R-Mod compatible avec les notions de noyaux et conoyaux et donc compatible avec la notion de suite exacte. Cependant, ce foncteur ne conserve pas les propriétés d'un objet de A d'être projectif ou injectif (un module sur un anneau est toujours injectif et projectif sur la catégorie constituée par lui-même et 0 et comme seuls morphismes 0, et les multiples de l'identité).

Soit ${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset \operatorname {Fun} ({\mathcal {A}},Ab)}$ la catégorie des foncteurs exacts à gauche de la catégorie abélienne ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ vers la catégorie des groupes abéliens ${\displaystyle Ab}$. On construit un contravariant ${\displaystyle H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {L}}}$ tel que ${\displaystyle H(A)=h^{A}}$ pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, où ${\displaystyle h^{A}}$ est le foncteur Hom covariant tel que ${\displaystyle h^{A}(X)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)}$. Le lemme de Yoneda noud donne la nature pleine et fidéle de ${\displaystyle H}$. On a directement l'exactitude à gauche de ${\displaystyle H}$ car ${\displaystyle h^{A}}$ est déjà exact à gauche. La preuve de l'exactitude à droite de ${\displaystyle H}$ est plus dure, on peut la retrouver dans les Lecture Notes in Mathematics 76 de R. G. Swan.

On prouve ensuite que ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ est une catégorie abélienne en utilisant la théorie de la localisation (de Swan). C'est la partie difficile de la preuve.

Il est facile de vérifier que la catégorie abélienne ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ est une catégorie AB5 avec un générateur ${\displaystyle \bigoplus _{A\in {\mathcal {A}}}h^{A}}$. C'est en fait une catégorie de Grothendieck qui admet donc un cogénérateur ${\displaystyle I}$.

L'anneau des endomorphismes ${\displaystyle R:=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(I,I)}$ est celui dont on a besoin pour la catégorie des R-modules.

Avec ${\displaystyle G(B)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(B,I)}$, on a un autre contravariant, exact et pleinement fidèle en posant ${\displaystyle G:{\mathcal {L}}\to R\operatorname {-Mod} .}$Le produit ${\displaystyle GH:{\mathcal {A}}\to R\operatorname {-Mod} }$ est le covariant exact que l'on recherche, il est pleinement fidèle.

A noter que la preuve du théorème de Gabriel–Quillen , pour les catégories exactes, est presque identique.

• (en) R. G. Swan, Lecture Notes in Mathematics 76, Springer, 1968
• (en) Peter Freyd, Abelian categories, Harper and Row, 1964
• (en) Barry Mitchell, The full imbedding theorem, The Johns Hopkins University Press, 1964
• (en) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 1993
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mitchell's embeding theorem » (voir la liste des auteurs).