Catégorie concrète

La catégorie ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$ des espaces vectoriels à gauche sur K a pour objets les K-espaces vectoriels à gauche et pour morphismes les applications K-linéaires. Cette catégorie est concrète, le foncteur d'oubli faisant correspondre à un espace vectoriel l'ensemble sous-jacent et à une application K-linéaire l'application sous-jacente.

La catégorie ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ des espaces topologiques a pour objets les espaces topologiques et pour morphismes les applications continues. Cette catégorie est concrète, le foncteur d'oubli faisant correspondre à un espace topologique l'ensemble sous-jacent et à une application continue l'application sous-jacente.

La catégorie ${\displaystyle \mathbf {Evt} }$ des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K et des applications K-linéaires continues peut être considérée comme une catégorie concrète ayant différentes bases, à savoir :

• la catégorie ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$ ;

• la catégorie ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ;

• la catégorie ${\displaystyle \mathbf {Ens} }$.

Si ${\displaystyle (\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})}$ et ${\displaystyle (\mathbf {B} ,{\mathfrak {V}})}$ sont deux catégories concrètes sur une même base ${\displaystyle \mathbf {X} }$, un foncteur concret de ${\displaystyle (\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})}$ dans ${\displaystyle (\mathbf {B} ,{\mathfrak {V}})}$ est un foncteur ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {B} }$ tel que ${\displaystyle {\mathfrak {U}}={\mathfrak {V}}\circ {\mathfrak {F}}}$. On écrit alors ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:(\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})\rightarrow (\mathbf {B} ,{\mathfrak {V}})}$.

Un isomorphisme concret ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:(\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})\rightarrow (\mathbf {B} ,{\mathfrak {V}})}$ est un foncteur entre catégories concrètes sur ${\displaystyle \mathbf {X} }$ qui est un isomorphisme de catégories. On identifie en pratique les catégories concrètes concrètement isomorphes.

Par exemple, les espaces topologiques peuvent être décrits de plusieurs manières : par les ensembles ouverts, par les voisinages, par les filtres convergents, etc. Ce sont là des constructions différentes, mais les catégories concrètes correspondantes sont concrètement isomorphes, donc peuvent être identifiées, et c'est ainsi qu'on obtient la catégories concrète ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ et la structure d'espace topologique.

Une source ${\displaystyle {\mathcal {P}}=(p_{i}:P\rightarrow A_{i})_{i\in I}}$ dans une catégorie ${\displaystyle \mathbf {A} }$ est appelée un produit si pour toute source ${\displaystyle {\mathcal {S}}=(s_{i}:A\rightarrow A_{i})_{i\in I}}$ (ayant le même codomaine que ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$), il existe un morphisme unique ${\displaystyle f:A\rightarrow P}$ tel que ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {P}}\circ f}$. Un produit ayant pour codomaine ${\displaystyle (A_{i})_{i}\in I}$ est appelé un produit de la famille ${\displaystyle (A_{i})_{i}\in I}$.

Si ${\displaystyle \mathbf {A} }$ est une catégorie concrète de base ${\displaystyle \mathbf {X} }$, un produit ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ est dit concret si ${\displaystyle \vert {\mathcal {P}}\vert }$ est un produit dans ${\displaystyle \mathbf {X} }$. Il est immédiat qu'une source dans ${\displaystyle \mathbf {A} }$ est un produit concret si et seulement si cette source est initiale et ${\displaystyle \vert {\mathcal {P}}\vert }$ est un produit dans ${\displaystyle \mathbf {X} }$.

Les catégories ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ et ${\displaystyle \mathbf {Vec} }$, la catégorie des groupes, celle des groupes abéliens, celle des anneaux, celle des monoïdes, celle des modules à gauche sur un anneau, etc., admettent des produits. Soit ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ une famille d'objets, et formons le produit ${\displaystyle (\pi _{j}:\Pi _{i}\vert A_{i}\vert \rightarrow \vert A_{j}\vert )_{j\in I}}$ dans la catégorie des ensembles. On obtient le produit concret ${\displaystyle (\pi _{j}:\Pi _{i}A_{i}\rightarrow A_{j})_{j\in I}}$ dans ces catégories concrètes en munissant l'ensemble ${\displaystyle \Pi _{i}\vert A_{i}\vert }$ de la structure initiale relativement à la famille ${\displaystyle (p_{j})_{j\in I}}$ : cela détermine l'objet ${\displaystyle \Pi _{i}A_{i}}$ de la catégorie considérée.

La construction précédente ne s'applique pas, par exemple, à la catégorie ${\displaystyle \mathbf {Ban} }$ des espaces de Banach. Bien qu'elle soit concrète de base ${\displaystyle \mathbf {Ens} }$, cette catégorie admet des produits qui ne peuvent obtenus de cette manière quand ils sont infinis. Ces produits ne sont donc pas concrets.

La notion de puits est duale de celle de source (la définition d'un puits s'obtient donc à partir de celle d'une source en « inversant le sens des flèches »). On obtient les correspondances suivantes :

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\text{Notion}}&{\text{Notion duale}}\\{\text{source}}&{\text{puits}}\\{\text{mono-source}}&{\text{épi-puits}}\\{\text{source initiale}}&{\text{puits final}}\\{\text{structure initiale}}&{\text{structure finale}}\\{\text{structure moins fine}}&{\text{structure plus fine}}\\{\text{produit}}&{\text{coproduit}}\\{\text{produit concret}}&{\text{coproduit concret}}\end{array}}}$

Le coproduit d'une famille ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ dans la catégorie des ensembles est la réunion disjointe ${\displaystyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$.

Dans la catégorie concrète ${\displaystyle \mathbf {Top} }$, le coproduit de la famille d'espaces topologiques ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ est la réunion disjointe ${\displaystyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$ muni de la topologie finale, c'est-à-dire la topologie la plus fine pour laquelle les injections canoniques ${\displaystyle A_{i}\rightarrow \biguplus _{i\in I}A_{i}}$ sont toutes continues. Par conséquent, ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ admet des coproduits concrets.

La catégorie des groupes admet des coproduits, à savoir les produits libres, mais, bien que cette catégorie soit concrète de base ${\displaystyle \mathbf {Ens} }$, ce ne sont pas des coproduits concrets.