Théorème de Künneth

Si R est supposé être un corps commutatif, alors le résultat est une approximation du cas général : en effet, on n'a plus besoin d'invoquer le foncteur Tor. Ainsi, on peut énoncer le théorème de Künneth sous la forme :

${\displaystyle H_{k}(X\times Y)\cong \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X)\otimes H_{j}(Y).}$

De plus, il existe une opération produit qui montre comment un i-cycle sur X et un j-cycle sur Y peuvent être combinés pour former un (i + j)-cycle sur X × Y ; de sorte qu'il existe une application linéaire explicite définie par la somme directe de H_k(X × Y).

Lorsque R est un corps, d'après le théorème de Künneth, cette application linéaire est un isomorphisme.

Une conséquence du théorème de Künneth est que les nombres de Betti de X × Y sont déterminés par ceux de X de ceux de Y. L'énoncé revient à dire que si p_Z(t) est la fonction génératrice de la séquence des nombres de Betti b_k(Z) d'un espace Z, alors :

${\displaystyle p_{X\times Y}(t)=p_{X}(t)p_{Y}(t).}$

Lorsqu'il y a un ensemble fini des nombres de Betti de X et de Y, chacun d'entre eux est un nombre naturel plutôt que ∞, ce qu'on peut comprendre comme une identité des polynômes de Poincaré.

Dans le cas général, ce sont des séries formelles acceptant des coefficients ∞, et doivent être interprétées en tant que telles. De plus, les nombres de Betti sur un corps F, b_k(Z,F), vérifient le même genre de relation que b_k(Z,Q) pour les coefficients rationnels.

• Théorème d'Eilenberg-Zilber
• Théorème des coefficients universels