Symétrisation

Tout groupe abélien est en particulier un monoïde commutatif, de sorte qu'il existe un foncteur d'oubli ${\displaystyle F:\mathrm {AGrp} \to \mathrm {CMon} }$ de la catégorie des groupes abéliens dans la catégorie des monoïdes commutatifs. Ce foncteur admet un adjoint à gauche G, qui vérifie alors la propriété universelle suivante : pour tout groupe abélien K, de monoïde sous-jacent F(K), tout morphisme de monoïdes ${\displaystyle A\to F(K)}$ correspond à un morphisme de groupes ${\displaystyle G(A)\to K}$. Cela garantit notamment l'unicité à isomorphisme près.

Si A est un monoïde commutatif, le groupe G(A) est alors appelé symétrisé de A.

Une manière de rendre explicite la définition ci-dessus est de considérer le monoïde produit ${\displaystyle A\times A}$, c'est-à-dire le produit cartésien muni des opérations coordonnée par coordonnée, modulo la relation d'équivalence

${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\Leftrightarrow \exists k,a+b'+k=a'+b+k}$.

On peut alors comprendre un élément (a, b) du monoïde produit comme correspondant à l'élément « a - b » du groupe. Ainsi, la classe d'équivalence de (a, a) est l'identité, et l'inverse de (a, b) est (b, a).

Si le monoïde est abélien et muni d'une seconde loi qui en fait un semi-anneau commutatif, la multiplication sur le symétrisé est définie par la formule suivante :

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,ad+bc)}$