Groupe de Grothendieck (K-théorie)

Soit C une petite sous-catégorie additive (ou exacte, ou triangulée) d'une catégorie abélienne A. On note Ob(C) les objets de C, que l'on considère à isomorphisme près. On considère le groupe abélien libre sur ces classes d'isomorphisme, que l'on note F(C), dont tout élément peut s'écrire comme somme formelle

${\displaystyle \sum n_{X}[X]}$

avec [X] la classe d'isomorphisme d'un objet X de C et n_X un entier, qui est presque toujours nul. Alors pour toute suite courte de C

${\displaystyle (E)\qquad 0\to X\to Y\to Z\to 0}$

on associe un élément de F(C) de la forme

${\displaystyle Q(E)=[X]-[Y]+[Z]}$.

On note H(C) le sous-groupe de F(C) engendré par les suites exactes courtes (ou les triangles distingués, si on considère une catégorie triangulée). Le groupe de Grothendieck est le groupe quotient

${\displaystyle K(C)=F(C)/H(C)}$

parfois noté ${\displaystyle \mathrm {Gr} (C)}$.

C'est-à-dire que pour toute suite exacte de la forme (E) on a dans ce groupe la relation [X] - [Y] + [Z] = 0. Cela donne directement une expression du groupe de Grothendieck en termes de générateurs (les éléments [X] pour tout objet X) et relations.

Si la catégorie C est additive, elle admet les sommes finies et la suite

${\displaystyle 0\to X\to X\oplus Y\to Y\to 0}$

est exacte, si bien que l'on a la « formule d'addition » ${\displaystyle [A\oplus B]=[A]+[B]}$. Dans ce cas l'application ${\displaystyle k:\mathrm {Ob} (C)\to K(C)}$ est additive, et vérifie la propriété universelle suivante : pour toute application additive ${\displaystyle \phi }$ de Ob(C) dans un groupe G, il existe un unique homomorphisme ${\displaystyle \xi :K(C)\to G}$ tel que ${\displaystyle \phi =\xi \circ k}$.