K-théorie algébrique

L'ensemble des classes d'isomorphisme de A-modules projectifs de type fini, muni de la somme directe, forme un monoïde. On définit K₀(A) comme son groupe de Grothendieck.

Tout morphisme d'anneaux A → B donne une application K₀(A) → K₀(B) qui envoie (la classe de) tout A-module M (projectif et de type fini) sur M ⊗_A B, ce qui fait de K₀ un foncteur covariant.

Si l'anneau A est commutatif, on peut définir dans K₀(A) le sous-groupe

${\displaystyle {\widetilde {K}}_{0}(A)=\bigcap \limits _{P{\text{ idéal premier de }}A}\mathrm {Ker} \dim _{P},}$

où

${\displaystyle \dim _{P}:K_{0}(A)\to \mathbb {Z} }$

est l'application qui à (la classe de) M associe le rang du A_P-module libre M_P (ce module est bien libre, puisque c'est un module projectif sur un anneau local). Ce sous-groupe ${\displaystyle {\widetilde {K}}_{0}(A)}$ est appelé la K-théorie réduite d'indice 0 de A.

On peut étendre la définition de K₀ à un anneau B non nécessairement unifère en considérant son unitarisé A = B¹ et le morphisme canonique d'anneaux unifères A → ℤ. On définit alors K₀(B) comme le noyau du morphisme K₀(A) → K₀(ℤ) = ℤ correspondant[4].

• Les modules sur un corps k sont les k-espaces vectoriels et K₀(k) est isomorphe à ℤ, par l'application dimension.
• Plus généralement, les modules projectifs sur un anneau local A sont libres et K₀(A) est isomorphe à ℤ, par l'application rang[5].
• Si A est un anneau de Dedekind, K₀(A) = Pic(A) ⊕ ℤ, où Pic(A) est le groupe de Picard de A[6] et de même, la K-théorie réduite est donnée par${\displaystyle {\widetilde {K}}_{0}(A)={\rm {Pic}}(A).}$
• Une variante algébrico-géométrique de cette construction s'applique à la catégorie des variétés algébriques ; elle associe à une variété algébrique X le K-groupe de Grothendieck de la catégorie des faisceaux localement libres (ou des faisceaux cohérents) sur X.
• Pour tout espace topologique compact, la K-théorie topologique (en) K^top(X) des fibrés vectoriels (réels) sur X coïncide avec le K₀ de l'anneau des fonctions continues de X dans ℝ[7].

Soit I un idéal de A. On définit le « double » associé comme le sous-anneau suivant de l'anneau produit A × A[8] :

${\displaystyle D(A,I)=\{(x,y)\in A\times A\mid x-y\in I\},}$

puis le K-groupe relatif[8] :

${\displaystyle K_{0}(A,I)=\ker \left(K_{0}(D(A,I))\to K_{0}(A)\right),}$

où l'application est induite par la projection sur le premier facteur.

Ce K-groupe relatif K₀(A, I) est isomorphe à K₀(I), où I est vu comme un anneau sans unité. Le fait qu'il est indépendant de A est un analogue du théorème d'excision en homologie[4].

Si l'anneau A est commutatif, le produit tensoriel de deux modules projectifs est encore projectif, ce qui induit une multiplication faisant de K₀ un anneau commutatif, avec la classe [A] comme neutre multiplicatif[5]. De même, le produit extérieur induit une structure de λ-anneau (en). Le groupe de Picard se plonge dans le groupe des unités de K₀(A)[9].

Hyman Bass a donné la définition suivante, qui généralise celle du groupe des unités d'un anneau : K₁(A) est l'abélianisé du groupe général linéaire infini :

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)].}$

D'après le lemme de Whitehead, le groupe dérivé [GL(A), GL(A)] coïncide avec le sous-groupe parfait E(A) engendré par les matrices élémentaires. Le groupe GL(A)/E(A), d'abord défini et étudié par Whitehead[10], est appelé le groupe de Whitehead de l'anneau A.

Le K-groupe relatif K₁(A, I) est défini en termes du « double »[11] :

${\displaystyle K_{1}(A,I)=\ker {\Big (}K_{1}(D(A,I))\to K_{1}(A){\Big )}.}$

Il s'insère dans une suite exacte[12] :

${\displaystyle K_{1}(A,I)\to K_{1}(A)\to K_{1}(A/I)\to K_{0}(A,I)\to K_{0}(A)\to K_{0}(A/I).}$

Si l'anneau A est commutatif, on peut définir un morphisme déterminant, de GL(A) dans le groupe A^× des unités de A. Cette application s'annule sur E(A) donc passe au quotient et définit un morphisme det : K₁(A) → A^×, dont le noyau est le groupe de Whitehead spécial SK₁(A) := SL(A)/E(A). On obtient même une suite exacte courte scindée à droite ${\displaystyle 1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{\times }\to 1,}$ quotient de celle, ${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{\times }\to 1,}$ dont une section A^× → GL(A) est donnée par l'inclusion de A^× = GL(1, A) dans GL(A).

Ainsi, K₁(A) se décompose en la somme directe du groupe des unités et du groupe de Whitehead spécial : K₁(A) ≃ A^× ⊕ SK₁(A).

Si A est un anneau euclidien[13] (par exemple un corps commutatif, ou l'anneau des entiers) ou semi-local[14], alors le groupe SK₁(A) est trivial et le déterminant est un isomorphisme de K₁(A) dans A^×. C'est faux pour un anneau principal quelconque, ce qui fournit l'une des rares propriétés des anneaux euclidiens ne se généralisant pas aux anneaux principaux. Des contre-exemples ont été donnés par Bass en 1972[15], puis par Ischebeck en 1980[16].

SK₁(A) est également trivial si A est un sous-anneau de Dedekind d'un corps de nombres[17].

La trivialité de SK₁ peut s'interpréter en disant que K₁ est engendré par l'image de GL₁. Lorsque ce n'est pas le cas, on peut chercher si K₁ est engendré par l'image de GL₂. C'est vrai pour un anneau de Dedekind, K₁ étant alors engendré par les images de GL₁ et SL₂[18]. On peut étudier le sous-groupe de SK₁ engendré par SL₂ en faisant intervenir les symboles de Mennicke (en). Pour un anneau de Dedekind dont tous les quotients par les idéaux maximaux sont finis, SK₁ est un groupe de torsion[19].

Pour un anneau non commutatif, le morphisme déterminant n'est pas défini en général, mais l'application GL(A) → K₁(A) en est un substitut.

Si A est une algèbre centrale simple sur un corps F, la norme réduite fournit une généralisation du déterminant, donnant une application K₁(A) → F*, et l'on peut définir SK₁(A) comme son noyau. Shianghao Wang (en) a démontré que si le degré de A est premier alors SK₁(A) est trivial[20], et ceci s'étend au cas où le degré est sans carré[21]. Wang a aussi prouvé que SK₁ est trivial pour toute algèbre centrale simple sur un corps de nombres[22]. Vladimir Platonov a donné des exemples, pour tout nombre premier p, d'algèbres de degré p² dont le SK₁ n'est pas trivial[23].

John Milnor a défini K₂(A) comme le centre du groupe de Steinberg St(A) de A. C'est aussi le noyau du morphisme φ : St(A) → GL(A), et le multiplicateur de Schur du groupe E(A) engendré par les matrices élémentaires.

K₂(ℤ) = ℤ/2ℤ[24] et plus généralement, le K₂ de l'anneau des entiers d'un corps de nombres est fini[25].

K₂(ℤ/nℤ) est encore ℤ/2ℤ si n est divisible par 4, mais est trivial sinon[26].

Le K₂ d'un corps est déterminé par les symboles de Steinberg :

Théorème de Matsumoto[27] - [28] — Pour tout corps commutatif k,${\displaystyle K_{2}(k)=k^{\times }\otimes _{\mathbb {Z} }k^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .}$

On en déduit facilement que le K₂ de tout corps fini est trivial[29] - [30].

Le calcul de K₂(ℚ) est un peu plus compliqué. John Tate a prouvé que[30] - [31]

${\displaystyle K_{2}(\mathbb {Q} )=(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\times \prod _{p{\text{ premier impair}}}(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$

en remarquant que la preuve suivait le même plan que la première des preuves par Gauss de la loi de réciprocité quadratique[32] - [33].

Si F est un corps local non archimédien, son K₂ est la somme directe du groupe cyclique fini ℤ/mℤ et du groupe divisible K₂(F)^m, où m est le nombre de racines de l'unité dans F[34].

Si A est un anneau de Dedekind et F son corps des fractions, on a une suite exacte longue[35]

${\displaystyle K_{2}(F)\to \oplus _{P}K_{1}(A/P)\to K_{1}(A)\to K_{1}(F)\to \oplus _{P}K_{0}(A/P)\to K_{0}(A)\to K_{0}(F)\to 0}$

où P parcourt l'ensemble des idéaux premiers non nuls de A.

D'autre part, pour tous A et I (idéal de A), la suite exacte qui met en jeu les K₁ et K₀ relatifs se prolonge[36] :

${\displaystyle K_{2}(A)\to K_{2}(A/I)\to K_{1}(A,I)\to K_{1}(A)\cdots \ .}$

Il existe un accouplement sur K₁ à valeurs dans K₂ : étant donné une paire de matrices commutantes X et Y sur A, soient x et y des antécédents dans le groupe de Steinberg. Le commutateur xyx⁻¹y⁻¹ est un élément du K₂[37]. Cette application n'est pas toujours surjective[38].

Pour n > 0, Quillen définit le n-ième K-groupe de R comme le n-ième groupe d'homotopie d'un espace obtenu en appliquant sa construction plus (de) au classifiant BGL(R) du groupe linéaire infini GL(R) : ${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B{\rm {GL}}(R)^{+}).}$

Pour étendre cette définition au cas n = 0, il suffit de poser ${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B{\rm {GL}}(R)^{+}\times K_{0}(R)),}$

puisque BGL(R)⁺ est connexe par arcs et K₀(R) est discret.

La construction Q (en) donne les mêmes résultats que la construction plus mais s'applique à des situations plus générales. En outre, elle est plus directe, au sens où les K-groupes qu'elle produit sont fonctoriels par définition, alors que ce fait n'est pas immédiat dans la construction plus.

À toute catégorie exacte P, on associe la catégorie QP dont les objets sont ceux de P et dont les morphismes de M vers M' sont les classes d'isomorphismes de diagrammes dans P de la forme

${\displaystyle M\leftarrow N\to M',}$

où la première flèche est un épimorphisme admissible et la seconde un monomorphisme admissible.

Le n-ième K-groupe de la catégorie exacte P est alors défini par

${\displaystyle K_{n}(P)=\pi _{n+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

où 0 est un objet nul fixé et BQP est l'espace classifiant de la catégorie QP, c'est-à-dire la réalisation géométrique (en) de son nerf. En particulier, K₀(P) est le groupe de Grothendieck de P.

En prenant pour P la catégorie des R-modules projectifs de type fini, on trouve les mêmes groupes que les K_n(R) définis par la construction plus. Plus généralement, les K-groupes d'un schéma X sont définis comme ceux de la catégorie (exacte) des faisceaux cohérents localement libres sur X.

On utilise aussi la variante suivante : au lieu des R-modules de type fini projectifs (i.e. localement libres), on prend tous les R-modules de type fini. On note couramment G_n(R) les K-groupes ainsi obtenus. Si R est un anneau noethérien régulier, ses G- et K-théories coïncident. En effet, la dimension globale de R est finie, c'est-à-dire que tout R-module de type fini M admet une résolution (en) projective P* → M, et un argument simple permet d'en déduire que le morphisme canonique K₀(R) → G₀(R) est bijectif, avec [M] = Σ ±[P_n]. On montre que le morphisme entre K-groupes supérieurs est également bijectif.

Une troisième construction des K-groupes est la construction S de Waldhausen (en)[45]. Elle s'applique aux catégories avec cofibrations (appelées catégories de Waldhausen (en)), plus générales que les catégories exactes.

Ce premier calcul de K-groupes supérieurs d'un anneau — et l'un des plus importants — fut effectué par Quillen lui-même : le corps fini à q éléments étant noté F_q, on a :

• K₀(F_q) = ℤ,
• K_2i(F_q) = 0 pour i ≥ 1,
• K_2i–1(F_q) = ℤ/(qⁱ – 1)ℤ pour i ≥ 1.

Quillen a démontré que les K-groupes de l'anneau O_F des entiers d'un corps de nombres F sont de type fini. Armand Borel s'en est servi pour calculer K_i(O_F) et K_i(F) modulo torsion. Par exemple pour F = ℚ, Borel a démontré que pour tout i > 1, K_i(ℤ) modulo torsion est ℤ si i est congru à 1 modulo 4 et 0 sinon.

On a récemment déterminé les sous-groupes de torsion des K_2i+1(ℤ) et l'ordre des groupes abéliens finis K_4k+2(ℤ), mais les questions de la cyclicité de ces derniers et de la trivialité des K_4k(ℤ) dépendent de la conjecture de Vandiver sur le groupe des classes des entiers cyclotomiques. Voir l'article « Conjecture de Quillen-Lichtenbaum (en) » pour plus de détails.

• (en) Hyman Bass, Algebraic K-theory, W. A. Benjamin, coll. « Mathematics Lecture Note Series », 1968 (zbMATH 0174.30302)
• (en) Eric Friedlander et Daniel Grayson, Handbook of K-Theory, Springer, 2005 (ISBN 978-3-540-30436-4, DOI 10.1007/978-3-540-27855-9)
• (en) Emilio Lluis-Puebla, Jean-Louis Loday, Henri Gillet (de), Christophe Soulé et Victor Snaith (de), Higher Algebraic K-theory : An Overview, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1491), 1992, 166 p. (ISBN 978-3-540-55007-5, zbMATH 0746.19001)
• (en) Bruce A. Magurn, An Algebraic Introduction to K-Theory, CUP, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 87), 2009 (ISBN 978-0-521-10658-0, lire en ligne)
• (en) John Willard Milnor, « Algebraic K-theory and quadratic forms », Invent. Math., vol. 9, n^o 4,‎ 1970, p. 318-344 (DOI 10.1007/BF01425486)
• (en) Daniel Quillen, « Higher algebraic K-theory », dans Proc. ICM (Vancouver, B. C., 1974), vol. 1, Canad. Math. Congress, 1975, p. 171-176 (construction Q)
• (en) Wolfgang Seiler, « λ-Rings and Adams Operations in Algebraic K-Theory », dans M. Rapoport, P. Schneider et N. Schappacher, Beilinson's Conjectures on Special Values of L-Functions, Academic Press,‎ 1988 (ISBN 978-0-12-581120-0)
• (en) Vasudevan Srinivas (en), Algebraic K-Theory, Birkhäuser, coll. « Modern Birkhäuser Classics », 2008, 341 p. (ISBN 978-0-8176-4736-0, zbMATH 1125.19300, lire en ligne)
• (en) Charles Weibel, The K-book : An Introduction to Algebraic K-theory, AMS, coll. « GSM » (n^o 145), 2013 (lire en ligne)

• (en) « K-theory Preprint Archives »
• (en) « Examples of algebraic K-theory groups », sur PlanetMath
• (en) « Algebraic K-theory », sur PlanetMath

• Déterminant de Dieudonné
• Formule de Bloch (en)
• Théorème fondamental de la K-théorie algébrique (en)
• Spectre de K-théorie (en)
• Conjecture de décalage vers le rouge (en)
• Symbole de Hilbert