Produit extérieur

Différents produits extérieurs.

Contrairement au produit vectoriel de deux vecteurs, le produit extérieur de deux vecteurs de E, appelé bivecteur, n'est pas un vecteur du même espace mais d'un nouvel espace, noté Λ²(E). Alors que le produit vectoriel n'est défini que dans un espace à 3 dimensions, le produit extérieur est défini pour tout espace vectoriel.

Le produit extérieur est bilinéaire :

${\displaystyle a\wedge (\beta b)=\beta (a\wedge b)=(\beta a)\land b}$

${\displaystyle a\wedge (b+c)=(a\wedge b)+(a\wedge c)}$

${\displaystyle (b+c)\wedge a=(b\wedge a)+(c\wedge a)}$

Le produit extérieur de deux vecteurs est alterné, c'est-à-dire que

${\displaystyle a\wedge a=0}$

ce qui, par bilinéarité, implique qu'il est antisymétrique[2] :

${\displaystyle a\wedge b=-(b\wedge a).}$

Si l'espace E est pourvu d'une métrique euclidienne, alors Λ²(E) aussi et la norme du bivecteur est

${\displaystyle \|a\wedge b\|=\|a\|\|b\|\sin({\widehat {a,b}}).}$

C'est l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs a et b.

Le produit extérieur et le produit vectoriel de Gibbs sont liés par une relation de dualité. Le résultat d'un produit vectoriel est en effet un bivecteur déguisé, le bivecteur étant remplacé par le vecteur qui en est le dual dans l'espace à trois dimensions. Ceci explique pourquoi le produit vectoriel n'est valable que dans un espace à trois dimensions. C'est, en effet, uniquement dans un tel espace que le dual d'un bivecteur est un vecteur.

On peut passer d'un produit vectoriel à un produit extérieur au moyen de la relation suivante :

${\displaystyle a\times b=-I(a\wedge b)}$ où I est l'unité pseudoscalaire de l'espace à 3 dimensions. Ici la croix symbolise le produit vectoriel.

Selon le point de vue le plus classique, le fait qu'un parallélépipède appuyé sur une famille de vecteurs soit « aplati » dès que cette famille est liée conduit à envisager le produit extérieur comme résultant d'une antisymétrisation du produit tensoriel, c'est-à-dire de la forme la plus générale de produit associatif. Une telle antisymétrisation est réalisée par un passage au quotient, en l'occurrence le quotient de l'algèbre tensorielle associée à l'espace vectoriel sur lequel on travaille par l'idéal bilatère de cette algèbre qu'y engendrent les carrés tensoriels ${\displaystyle u\otimes u}$, puisque ceux-ci sont destinés à être « aplatis ». On obtient ainsi l'algèbre extérieure ${\displaystyle \bigwedge E}$ d'un espace vectoriel ${\displaystyle E}$. Ainsi, d'une certaine façon, la notion d'algèbre extérieure d'un espace vectoriel précède celle du produit extérieur de deux vecteurs.

Le produit extérieur et le produit tensoriel agissant au sein d'algèbres différentes, il n'est en principe pas possible de combiner dans une même expression des produits tensoriels et des produits extérieurs. Ainsi, la formule

${\displaystyle a\wedge b=a\otimes b-b\otimes a}$

parfois présentée comme une définition du produit extérieur ne doit pas être prise au pied de la lettre, mais comme exprimant la possibilité d'injecter l'espace vectoriel ${\displaystyle \wedge ^{2}E}$ dans ${\displaystyle \otimes ^{2}E}$, où ${\displaystyle \wedge ^{2}E}$ désigne le sous-espace vectoriel de l'algèbre extérieure ${\displaystyle \bigwedge E}$ engendré par les « parallélogrammes » (ou bivecteurs) ${\displaystyle u\wedge v}$.

Cette injection permet en effet d'identifier ${\displaystyle \wedge ^{2}E}$ à un sous-espace de ${\displaystyle \otimes ^{2}E}$, en identifiant le bivecteur ${\displaystyle a\wedge b}$ au tenseur antisymétrique ${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a}$. Laurent Schwartz, dans son ouvrage Les tenseurs (Hermann, 1975), indique (p. 103) qu'une telle identification est peu recommandée.

Cependant, dans le cas particulier où l'espace vectoriel ${\displaystyle E}$ est donné comme l'espace dual ${\displaystyle F^{*}}$ d'un espace ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle \bigwedge E}$ et ${\displaystyle \bigotimes E}$ s'interprètent alors naturellement comme, respectivement, algèbre des formes multilinéaires alternées et algèbre des formes multilinéaires sur F. Dans ce cas, les espaces vectoriels ${\displaystyle \wedge ^{n}E}$ sont naturellement des sous-espaces des ${\displaystyle \otimes ^{n}E}$. En particulier, de ce point de vue, le produit extérieur de deux formes linéaires ${\displaystyle \phi ,\psi \in F^{*}}$ est la forme bilinéaire alternée définie par la formule

${\displaystyle \phi \wedge \psi =\phi \otimes \psi -\psi \otimes \phi .}$