Multivecteur

Soit ℝⁿ l'espace euclidien, muni de sa base orthonormée canonique

${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n}).}$

Si l'on se donne m vecteurs ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$, on peut utiliser le produit extérieur pour former ce qu'on appelle un multivecteur ou encore m-vecteur :

${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}.}$

Si l'on note ${\displaystyle e_{ij}=e_{i}\wedge e_{j}}$, alors l'espace des m-vecteurs sur ℝⁿ, noté usuellement Λ_mℝⁿ, est un espace vectoriel dont les éléments sont de la forme :

${\displaystyle \sum _{i_{1}<\ldots <i_{m}}{a_{i_{1},\ldots ,i_{m}}e_{i_{1},\ldots ,i_{m}}}.}$

Un multivecteur est dit décomposable s'il peut être écrit comme produit extérieur de vecteurs de ℝⁿ. Par exemple sur ℝ⁴, c'est le cas de ${\displaystyle e_{12}+2e_{13}-e_{23}=(e_{1}+e_{3})\wedge (e_{2}+2e_{3})}$ mais pas de ${\displaystyle e_{12}+e_{34}}$.

Cet espace est muni d'une base canonique qui est

${\displaystyle \{e_{i_{1},\ldots ,i_{m}}\mid i_{1}<\ldots <i_{m}\}}$

donc sa dimension est le coefficient binomial ${\displaystyle C_{n}^{m}}$.

De plus, cette base définit un produit scalaire sur cet espace.

Si m = n, alors

${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=}$ det${\displaystyle [v_{1},\ldots ,v_{n}]e_{1,\ldots ,n}.}$

L'idée géométrique sous-jacente aux multivecteurs est de représenter un sous-espace vectoriel P de dimension m, dont l'expression ${\displaystyle v=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}}$ en donnerait la base orientée.

Si l'on prend une autre base orientée de P, son produit extérieur ${\displaystyle v'_{1}\wedge \ldots \wedge v'_{m}}$ est un multiple positif de v.

Si ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$ est une base orthonormée, alors ${\displaystyle \|v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}\|=1.}$

${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}=0}$ si et seulement si ces vecteurs sont liés.