Cycle (géométrie algébrique)

On fixe un schéma ${\displaystyle X}$ qu'on supposera noethérien de dimension finie ${\displaystyle d}$. Pour tout entier positif ou nul ${\displaystyle p}$, on appelle ${\displaystyle p}$-cycle irréductible (resp. ${\displaystyle p}$-cocycle irréductible) de ${\displaystyle X}$ un fermé irréductible de dimension ${\displaystyle p}$ (resp. codimension ${\displaystyle p}$). Un ${\displaystyle p}$-cycle est une combinaison formelle finie

• ${\displaystyle \sum _{i}n_{i}[Z_{i}]}$

où les coefficients ${\displaystyle n_{i}}$ sont des entiers relatifs, et où les ${\displaystyle Z_{i}}$ sont des ${\displaystyle p}$-cycles irréductibles. On définit similairement les ${\displaystyle p}$-cocycles. L'ensemble des ${\displaystyle p}$-cycles est un groupe commutatif, qui est d'ailleurs le groupe abélien libre engendré par les fermés irréductibles de dimension ${\displaystyle p}$ de ${\displaystyle X}$. On note ce groupe ${\displaystyle Z_{p}(X)}$. Similairement, le groupe des cocycles est noté ${\displaystyle Z^{p}(X)}$. On remarque que ces groupes sont nuls si ${\displaystyle p>n}$.

Les 1-cocycles s'appellent les diviseurs de Weil. Ce sont donc des combinaisons entières de fermés irréductibles de codimension 1. Rappelons qu'un fermé irréductible est de codimension 1 si ce n'est pas une composante irréductible de ${\displaystyle X}$, et si tout fermé irréductible qui le contient strictement est une composante irréductible de ${\displaystyle X}$.

La somme directe (finie) des ${\displaystyle Z_{p}(X)}$ est le groupe des cycles de ${\displaystyle X}$.

• Le groupe ${\displaystyle Z^{0}(X)}$ est engendré par les composantes irréductibles de ${\displaystyle X}$.

• Le groupe ${\displaystyle Z_{d}(X)}$ est engendré par les composantes irréductibles de ${\displaystyle X}$ de dimension maximale.

• Le groupe ${\displaystyle Z_{0}(X)}$ est engendré par les points fermés de ${\displaystyle X}$. Ce sont les 0-cycles.

• Le groupe ${\displaystyle Z^{d}(X)}$ est engendré certains points fermés (ceux qui sont de codimension ${\displaystyle d}$).

• Supposons que ${\displaystyle X}$ soit irréductible de dimension 1. Alors ${\displaystyle Z_{0}(X)=Z^{1}(X)}$.

Soit ${\displaystyle A}$ un anneau local noethérien de dimension 1. Soit ${\displaystyle f}$ un élément régulier non inversible de ${\displaystyle A}$. On définit l'ordre de ${\displaystyle f}$ comme étant la longueur du ${\displaystyle A}$-module artinien ${\displaystyle A/fA}$. Notons-le ${\displaystyle {\rm {ord}}(f)}$. On montre que l'application ord est additif et induit donc un homomorphisme de groupes ${\displaystyle {\rm {Frac}}(A)^{*}\to {\mathbb {Z} }}$ où ${\displaystyle \mathrm {Frac} (A)}$ désigne l'anneau total des fractions de ${\displaystyle A}$. Noter que si ${\displaystyle A}$ est intègre, l'anneau total des fractions est simplement le corps des fractions.

Supposons ${\displaystyle X}$ intègre. Soit ${\displaystyle f}$ une fonction rationnelle non nulle sur ${\displaystyle X}$ (c'est donc un élément du corps des fractions de ${\displaystyle O_{X}(U)}$ pour tout ouvert ${\displaystyle U}$). Pour tout fermé irréductible ${\displaystyle Z}$ de codimension 1, de point générique ${\displaystyle \xi }$, l'anneau local ${\displaystyle O_{X,\xi }}$ est de dimension 1. On note ${\displaystyle {\rm {ord}}_{\xi }(f)}$ l'ordre de la fraction ${\displaystyle f}$ dans l'anneau local ${\displaystyle O_{X,\xi }}$. On pose

• ${\displaystyle {\rm {div}}(f)=\sum _{\xi }{\rm {ord}}_{\xi }(f)[Z_{\xi }]}$

où la somme parcourt les points ${\displaystyle \xi }$ de codimension 1, et où par commodité dactylographique ${\displaystyle Z_{\xi }}$ est l'adhérence de Zariski de ${\displaystyle \{\xi \}}$ (c'est un 1-cocycle irréductible). On montre aisément (parce que ${\displaystyle X}$ est noethérien) que c'est une somme finie. On a donc un diviseur de Weil. Un tel diviseur est appelé un diviseur principal sur ${\displaystyle X}$. On a

• ${\displaystyle {\rm {div}}(fg)={\rm {div}}(f)+{\rm {div}}(g)}$

et ${\displaystyle {\rm {div}}(1)=0}$.

Par extension, les diviseurs principaux des fermés irréductibles de ${\displaystyle X}$ forment un sous-groupe de ${\displaystyle Z(X)}$ appelé le groupe des cycles principaux de ${\displaystyle X}$. Par exemple si ${\displaystyle X}$ est de dimension 2, il y aura des diviseurs principaux de ${\displaystyle X}$, mais aussi des 0-cycles qui sont principaux dans des fermés irréductibles de dimension 1 de ${\displaystyle X}$.

On note ${\displaystyle {\rm {CH}}(X)}$ le groupe quotient de ${\displaystyle Z(X)}$ par le sous-groupe des cycles principaux. Les images de ${\displaystyle Z^{p}(X)}$ et de ${\displaystyle Z_{p}(X)}$ dans ${\displaystyle {\rm {CH}}(X)}$ sont notées ${\displaystyle {\rm {CH}}^{p}(X)}$ et ${\displaystyle {\rm {CH}}_{p}(X)}$. Ce sont les groupes de Chow (en) de ${\displaystyle X}$.

On dira, même si cela comporte des pathologies en dehors des variétés algébriques intègres, que deux cycles sur ${\displaystyle X}$ sont rationnellement équivalents si leur différence appartient au groupe des cycles principaux.

On suppose que ${\displaystyle X}$ est une variété algébrique sur un corps ${\displaystyle k}$ (i.e. c'est un ${\displaystyle k}$-schéma de type fini). Pour tout point fermé ${\displaystyle x}$ (donc 0-cycle irréductible), le corps résiduel ${\displaystyle k(x)}$ est une extension finie de ${\displaystyle k}$. Si ${\displaystyle Z=\sum _{i}n_{i}[x_{i}]}$ est un 0-cycle, on définit son degré par ${\displaystyle \deg Z=\sum _{i}n_{i}[k(x_{i}):k].}$ C'est un entier qui dépend du corps de base ${\displaystyle k}$. L'application degré est un homomorphisme ${\displaystyle Z_{0}(X)\to }$ℤ.

Cela veut dire que dans le cas des variétés algébriques propres, l'application degré induit un homomorphisme de groupes ${\displaystyle {\rm {CH}}_{0}(X)\to {\mathbb {Z} }.}$

• Corollaire. Soit ${\displaystyle X}$ une courbe projective sur un corps, alors l'application degré induit un homomorphisme de groupes de ${\displaystyle CH^{1}(X)=CH_{0}(X)}$ dans ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$.

Soit ${\displaystyle f:X\to Y}$ un morphisme. Soit ${\displaystyle Z}$ un fermé irréductible, de point générique ${\displaystyle \xi }$. On pose

• ${\displaystyle f_{*}[Z]=[k(\xi ):k(f(\xi )][f(Z)]}$ si l'extension ${\displaystyle k(\xi )/k(f(\xi ))}$ est finie, et ${\displaystyle f_{*}[Z]=0}$ sinon.

Ceci induit un homomorphisme de groupes ${\displaystyle f_{*}:Z(X)\to Z(Y)}$. Lorsque ${\displaystyle Y}$ est le spectre d'un corps ${\displaystyle k}$ et que ${\displaystyle f}$ est de type fini, pour tout 0-cycle ${\displaystyle Z}$, on a ${\displaystyle f_{*}Z=(\deg Z).e}$ où ${\displaystyle e}$ est l'unique 0-cycle de Spec k.

William Fulton, Intersection Theory, 2^e éd., Springer, 1998

Conjectures standard sur les cycles algébriques (en)