Déterminant de Dieudonné

Soient R un anneau local (non nécessairement commutatif) et (R^×)^ab l'abélianisé du groupe R^× de ses éléments inversibles (c'est le groupe quotient de R^× par son groupe dérivé [R^×, R^×]). Notons θ le morphisme canonique de R^× sur (R^×)^ab. Pour tout entier n ≥ 1, il existe un unique application det : GL_n(R) → (R^×)^ab, appelée déterminant, telle que :

• le déterminant est invariant par toute opération élémentaire sur les lignes consistant à ajouter à une ligne un multiple à gauche d'une autre ligne ;
• le déterminant de la matrice identité est l'élément neutre 1 ;
• si une ligne est multipliée à gauche par un élément inversible a alors le déterminant est multiplié à gauche par l'image de a dans (R^×)^ab.

Soit ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{n}(R)}$. Alors chaque ligne et chaque colonne contient au moins un élément inversible. Supposons par exemple que ${\displaystyle a\in R^{\times }}$. Alors,

${\displaystyle {\begin{aligned}\det A&={\overline {a}}\det {\begin{pmatrix}1&a^{-1}b\\c&d\end{pmatrix}}={\overline {a}}\det {\begin{pmatrix}1&a^{-1}b\\c-c\times 1&d-c\times a^{-1}b\end{pmatrix}}={\overline {a}}{\overline {\left(d-ca^{-1}b\right)}}\det {\begin{pmatrix}1&a^{-1}b\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\overline {a\left(d-ca^{-1}b\right)}}\det {\begin{pmatrix}1-a^{-1}b\times 0&a^{-1}b-a^{-1}b\times 1\\0&1\end{pmatrix}}={\overline {a\left(d-ca^{-1}b\right)}}\det \mathrm {I} _{2}\\&={\overline {a\left(d-ca^{-1}b\right)}}.\end{aligned}}}$

De même, si ${\displaystyle c\in R^{\times }}$ alors

${\displaystyle \det A={\overline {c\left(ac^{-1}d-b\right)}}}$.

Plus concrètement, soit R = ℍ, le corps des quaternions. (ℍ^×)^ab = ℝ₊*. Pour

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&\mathrm {i} \\\mathrm {j} &\mathrm {k} \end{pmatrix}}\quad {\text{et}}\quad A^{\mathrm {t} }={\begin{pmatrix}1&\mathrm {j} \\\mathrm {i} &\mathrm {k} \end{pmatrix}}}$,

les deux formules ci-dessus s'appliquent, donnant bien entendu le même résultat :

${\displaystyle \det A=\|1\left(\mathrm {k} -\mathrm {j} \mathrm {i} \right)\|=\|\mathrm {j} \left(-\mathrm {j} \mathrm {k} -\mathrm {i} \right)\|=\|2\mathrm {k} \|=2}$ et

${\displaystyle \det A^{\mathrm {t} }=\|1\left(\mathrm {k} -\mathrm {i} \mathrm {j} \right)\|=\|\mathrm {i} \left(-\mathrm {i} \mathrm {k} -\mathrm {j} \right)\|=\|0\|=0}$.

• Cette application est un morphisme de groupes.
• Quand on intervertit deux lignes, le déterminant est multiplié par –1.
• Si R est commutatif, le déterminant est invariant par transposition[3].

Lemme de Whitehead