Extension cyclotomique

Notons n l'ordre de ζ, c'est-à-dire que ζ est une racine primitive n-ième de l'unité, ou encore une racine du polynôme cyclotomique Φ_n.

• Si n divise m, le n-ième corps cyclotomique ℚ(ζ) est un sous-corps du m-ième.
• L'extension ℚ(ζ)/ℚ est de degré φ(n), où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler.
• L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme Φ_n. Elle est donc galoisienne.
  Cela signifie que le plus petit corps contenant une racine du polynôme contient aussi toutes les racines du polynôme. Dire que ce corps est une extension galoisienne signifie deux choses : d'une part, les polynômes minimaux de ce corps n'ont pas de racines multiples (ce qui est toujours vrai pour les extensions sur les nombres rationnels) ; et d'autre part, tous les morphismes de ce corps dans les nombres complexes ont pour image le corps lui-même. Ce sont donc des automorphismes.
• Cette extension est abélienne. En effet, son groupe de Galois (le groupe de ses automorphismes) est abélien, car isomorphe à (ℤ/nℤ)^×.

• D'après le théorème de Gauss-Wantzel, cette extension se décompose en une tour d'extensions quadratiques si et seulement si n est de la forme :${\displaystyle n=2^{k}\prod _{i}F_{i},}$où les F_i sont des nombres premiers de Fermat distincts (un nombre premier est dit de Fermat s'il est de la forme 2^(2k) + 1 pour un certain entier k).
  Or un point est constructible si et seulement si l'extension associée vérifie cette propriété. Ce théorème fournit donc en théorie la liste des entiers n pour lesquels le polygone régulier à n sommets est constructible, et permet, pour les « petites » valeurs de n, de déterminer si n appartient ou pas à cette liste. (Les nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 65 537.)
• L'anneau des entiers du corps ℚ(ζ) est l'anneau ℤ[ζ]
• Un nombre premier p est ramifié dans ℚ(ζ_n) si et seulement s'il divise n, sauf dans le cas p = 2 = (4, n) ; un nombre premier p ≠ 2 est totalement décomposé dans ℚ(ζ_n) si et seulement si p ≡ 1 mod n[1].
• Le discriminant du corps ℚ(ζ) (ou du polynôme Φ_n) est : ${\displaystyle (-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\prod _{p{\text{ premier}} \atop {\text{divisant }}n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}$ où φ est l'indicatrice d'Euler.
• Le corps ℚ(ζ) est à multiplication complexe : c'est un corps totalement imaginaire, extension quadratique du corps totalement réel ℚ(ζ + ζ⁻¹).
• Lorsque n = p premier impair, le corps ℚ(ζ) contient le corps quadratique ℚ(√(–1)^(p–1)/2p). Par exemple pour p = 5, ℚ(ζ) contient ℚ(√5) et pour p = 3, ℚ(ζ) contient ℚ(√–3).
• Les corps quadratiques ℚ(√2) et ℚ(√–2) sont contenus dans ℚ(ζ) pour n = 8.

On considère le corps ℚ(ζ_p), pour p un nombre premier. Alors, on peut montrer que l'équation x^p + y^p = z^p n'admet pas de solution (x, y, z) entière non triviale avec xyz premier à p, sous l'hypothèse que p ne divise pas le nombre de classes de ℚ(ζ_p). Un tel nombre premier est appelé nombre premier régulier. Ceci est souvent appelé premier cas du dernier théorème de Fermat, et a été étudié par Ernst Kummer. Kummer a notamment un critère portant sur les nombres de Bernoulli pour déterminer si un nombre premier est régulier. Il est actuellement connu qu'une infinité de nombres premiers ne sont pas réguliers : en revanche, on ne sait pas s'il en existe une infinité de réguliers.

Plus précisément, on peut se demander pour quelles valeurs de n l'anneau ℤ[ζ_n] est principal, c'est-à-dire que le nombre de classes est 1. Ceci est connu : les seuls nombres n tels que ℤ[ζ_n] est principal (ou, ce qui ici est équivalent : factoriel), sont[2] : 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84, ainsi que les doubles des n impairs de cette liste puisqu'alors, ℚ(ζ_2n) = ℚ(ζ_n).

Le fait que le corps soit CM permet de faire agir Gal(ℚ(ζ_p)/ℚ(ζ_p+ζ_p⁻¹)) ≃ ℤ/2ℤ sur les différents objets arithmétiques liés à ℚ(ζ_p). En particulier, cela permet (voir représentation des groupes) de définir deux parties dans le nombre de classes : la partie + et la partie –. La conjecture de Vandiver s'énonce alors : « pour tout nombre premier p, p ne divise pas la partie + du nombre de classes ». En particulier, un nombre premier régulier vérifie la conjecture de Vandiver. Sous cette hypothèse, et une hypothèse supplémentaire sur les unités du sous-corps réel ℚ(ζ_p+ζ_p⁻¹), on peut montrer le deuxième cas du théorème de Fermat : x^p + y^p = z^p n'admet pas de solutions entières non triviales telles que p ne divise pas xy et p divise z.

La conjecture de Vandiver est à l'heure actuelle encore une conjecture. Elle a été vérifiée numériquement pour p < 2²⁷ = 134 217 728[3].

Pour chaque corps de nombres et chaque nombre premier p, une tour infinie d'extension peut être considérée : la ℤ_p-extension cyclotomique. Si ${\displaystyle p}$ est impair, la ℤ_p-extension cyclotomique de ℚ est la tour d'extensions ${\displaystyle \mathbb {B} _{n}}$définie via la correspondance de Galois comme la sous-extension fixée par le sous-groupe isomorphe à ℤ/(p–1)ℤ de Gal(ℚ(ζ_pⁿ)/ℚ) ≃ ℤ/(p–1)ℤ × ℤ/p^n–1ℤ. Le corps ${\displaystyle \mathbb {B} _{n}}$est ainsi une extension galoisienne de ℚ, et même cyclique d'ordre pⁿ ; par définition de la limite projective, la réunion des ${\displaystyle \mathbb {B} _{n}}$est alors galoisienne sur ℚ de groupe de Galois ℤ_p, d'où l'appellation.

La ℤ_p-extension cyclotomique d'un corps de nombres quelconque est obtenue par compositum avec celle-ci.