Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes

Soit la factorisation d'un idéal premier P de O_K dans O_L :

${\displaystyle PO_{L}=\prod _{1\leq j\leq g}P_{j}^{e_{j}}\,}$

comme un produit d'idéaux premiers distincts P_j de O_L, avec les indices de ramification e_j, alors G agit transitivement sur les P_j. C’est-à-dire, les facteurs idéaux premiers de P dans L forment une orbite unique sous les K-automorphismes de L. L'unicité de la décomposition en produit d'idéaux premiers permet alors de montrer que l'indice de ramification e_j = e est indépendant de j. De même pour les degrés d'inertie f_j, en regardant cette fois l'action du groupe de Galois sur les corps résiduels (on explique plus en détail ci-dessous cette action, ce qui est plus technique). Ces deux assertions sont fausses en général pour les extensions non galoisiennes. On obtient alors la relation suivante

${\displaystyle [L:K]=n=efg}$

où g est le nombre d'idéaux premiers distincts intervenant dans la décomposition de l'idéal P.

Cependant, la relation obtenue sur les indices ne traduit qu'une petite partie de la richesse introduite par la structure galoisienne. En effet, un élément g du groupe de Galois agit sur L en laissant K invariant et, par restriction, sur O_L en laissant O_K invariant. Un idéal premier P_i de O_L au-dessus d'un idéal premier P de O_K étant donné, on vérifie facilement que l'action passe au quotient :

${\displaystyle g:O_{L}/P_{i}\rightarrow O_{L}/g(P_{i})}$

est un isomorphisme de O_K/P-espaces vectoriels entre les corps résiduels. Pour obtenir un automorphisme, il est intéressant de se restreindre au cas où g(P_i) = P_i. On appelle groupe de décomposition, noté D_Pi, de l'idéal P_i, l'ensemble des éléments du groupe de Galois qui vérifient cette relation. La relation fondamentale en termes de théorie de Galois devient alors :

${\displaystyle 1\rightarrow I_{P_{i}}\rightarrow D_{P_{i}}\rightarrow \mathrm {Gal} {\Big (}(O_{L}/P_{i})/(O_{K}/P){\Big )}\rightarrow 1}$

où le morphisme de droite est celui qu'on vient de définir. Sa surjectivité constitue un théorème. Quant à son noyau, on le définit comme étant le groupe d'inertie. Ces objets contiennent l'information qui était codée par les indices de ramification et degré d'inertie dans le cas non galoisien : le cardinal du groupe d'inertie est l'indice de ramification, celui du groupe de décomposition est le produit du degré d'inertie et de l'indice de ramification.

Les sous-corps correspondant, par la correspondance de Galois, aux sous-groupes qu'on vient de définir, admettent une interprétation arithmétique simple : le groupe de décomposition correspond à l'extension totalement décomposée maximale, et le groupe d'inertie à l'extension non ramifiée maximale.

Dans le cas d'une extension (galoisienne) non ramifiée en un premier P_i, le groupe d'inertie est trivial, comme remarqué précédemment. La relation fondamentale devient alors un isomorphisme entre le groupe de décomposition en P_i et le groupe de Galois de l'extension des corps résiduels. Dans le cas où les corps résiduels sont finis, ce qui est vrai en particulier pour les corps de nombres et les corps de nombres p-adiques, le groupe de Galois de l'extension de corps résiduels est cyclique et admet un générateur privilégié : l'automorphisme de Frobenius. Son image dans le groupe de décomposition est alors appelé l'automorphisme de Frobenius global (par opposition à l'automorphisme de Frobenius de l'extension résiduelle qu'on pourrait qualifier de résiduel). En effet, si l'on considère l'extension locale obtenue par complétion de l'extension L/K en P_i, on obtient une extension non ramifiée de corps de nombres p-adiques dont le groupe de Galois est exactement isomorphe à celui de l'extension résiduelle et est engendré par l'automorphisme de Frobenius dit ``local", image également de l'automorphisme de Frobenius de l'extension résiduelle. Si l'extension L/K est Abélienne (${\displaystyle G=Gal(L/K)}$ commutatif), l'automorphisme de Frobenius global est indépendant du choix de l'idéal premier P_i de L au-dessus de p (idéal premier de K) et se note ${\displaystyle \left({\frac {L/K}{p}}\right)}$.

Supposons maintenant L/K Abélienne. Pour un idéal fractionnaire ${\displaystyle a}$ de K de étranger à la ramification dans L/K, de la forme

${\displaystyle a:=\prod _{k}p_{k}^{a_{k}},\ \ a_{k}\in Z,}$

où les ${\displaystyle p_{k}}$ sont des idéaux premiers quelconques (non ramifiés) du corps de base K, on appelle symbole d'Artin de l'idéal ${\displaystyle a}$, l'élément de ${\displaystyle G}$ noté

${\displaystyle \left({\frac {L/K}{a}}\right):=\prod _{k}\left({\frac {L/K}{p_{k}}}\right)^{a_{k}},}$

où chaque ${\displaystyle \left({\frac {L/K}{p_{k}}}\right)}$ est l'automorphisme de Frobenius global que l'on vient de définir dans le cas Abélien.

C'est un objet à la base de la théorie du corps de classes global dans la mesure où l'application (dite aussi application d'Artin) du groupe des idéaux de K (étrangers à la ramification) dans le groupe ${\displaystyle G}$ qui en résulte est surjective et a un noyau canonique calculable (point très profond et difficile de la théorie), ce qui constitue la "Loi de Réciprocité d'Artin", considérable généralisation pour les corps de nombres de la loi de réciprocité quadratique de Gauss.

Le nombre premier 2 de ℤ se ramifie dans ℤ[i] :

${\displaystyle (2)=(1+{\rm {i}})^{2}}$

donc ici, l'indice de ramification est e = 2. Le corps résiduel O_L/(1 + i)O_L est le corps fini à deux éléments. Le groupe de décomposition est égal à G tout entier, puisqu'il existe seulement un élément premier de ℤ[i] au-dessus de 2. Le groupe d'inertie est aussi G tout entier, puisque pour tous entiers a et b,

${\displaystyle a+b{\rm {i}}\equiv a-b{\rm {i}}{\pmod {(1+{\rm {i}})}}.}$

En fait, 2 est le seul nombre premier qui se ramifie dans ℤ[i], puisque chaque nombre premier qui se ramifie doit diviser le discriminant de ℤ[i], qui est –4.

Tout nombre premier p ≡ 1 mod 4 se décompose en deux idéaux premiers distincts dans ℤ[i] ; ceci est une manifestation du théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés. Par exemple,

${\displaystyle (13)=(2+3{\rm {i}})(2-3{\rm {i}}).}$

Les groupes de décomposition dans ce cas sont tous les deux le groupe trivial ; l'automorphisme σ échange les deux nombres premiers 2 + 3i et 2 – 3i, donc il ne peut pas être dans le groupe de décomposition de chaque nombre premier. Le groupe d'inertie, étant un sous-groupe du groupe de décomposition, est aussi le groupe trivial. Il existe deux corps résiduels, un pour chaque nombre premier,

${\displaystyle O_{L}/(2\pm 3{\rm {i}})O_{L},}$

qui sont tous les deux isomorphes au corps fini à 13 éléments. L'élément de Frobenius est l'automorphisme trivial, ce qui signifie que pour tous entiers a et b,

${\displaystyle (a+b{\rm {i}})^{13}\equiv a+b{\rm {i}}{\pmod {(2\pm 3i)}}.}$

Tout nombre premier p ≡ 3 mod 4 reste inerte dans ℤ[i], c’est-à-dire qu'il ne se décompose pas. Par exemple, (7) reste premier dans ℤ[i]. Dans cette situation, le groupe de décomposition est de nouveau G tout entier, parce qu'il existe seulement un seul facteur premier. Néanmoins, cette situation diffère du cas p = 2, parce que maintenant σ n'agit pas de manière triviale sur le corps résiduel O_L/(7)O_L, qui est le corps fini à 7² = 49 éléments. Par exemple, la différence entre 1 + i et σ(1 + i) = 1 – i est 2i, qui n'est pas divisible par 7. Par conséquent, le groupe d'inertie est le groupe trivial. Le groupe de Galois de ce corps résiduel sur le sous-corps ℤ/7ℤ est d'ordre 2, et est engendré par l'image de l'élément de Frobenius. Le Frobenius n'est autre que σ, ce qui signifie que pour tous entiers a et b,

${\displaystyle (a+b{\rm {i}})^{7}\equiv a-b{\rm {i}}{\pmod {7}}.}$

Considérons de nouveau le cas des entiers de Gauss. Nous prenons, comme élément primitif θ, l'unité imaginaire i, dont le polynôme minimal est X² + 1. Puisqu'ici O_K[θ] = ℤ[i] est égal à la totalité de l'anneau des entiers de L = ℚ(i), l'idéal conducteur est l'anneau O_L lui-même, donc il n'existe pas de premiers exceptionnels.

• Pour P = (2), nous devons travailler dans le corps ℤ/(2)ℤ et factoriser modulo 2 le polynôme X² + 1 :${\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.}$Par conséquent, il n'existe qu'un facteur premier, de degré d'inertie 1 et d'indice de ramification 2, et il est donné par${\displaystyle Q=(2)\mathbb {Z} [{\rm {i}}]+({\rm {i}}+1)\mathbb {Z} [{\rm {i}}]=(1+{\rm {i}})\mathbb {Z} [{\rm {i}}].}$
• Le cas suivant est P = (p) pour un nombre premier p ≡ 3 mod 4 ; plus concrètement, nous prendrons P = (7). Le polynôme ${\displaystyle X^{2}+1}$ est irréductible modulo 7. Par conséquent, il n'existe qu'un facteur premier, de degré d'inertie 2 et d'indice de ramification 1, et il est donné par${\displaystyle Q=(7)\mathbb {Z} [{\rm {i}}]+({\rm {i}}^{2}+1)\mathbb {Z} [{\rm {i}}]=7\mathbb {Z} [{\rm {i}}].}$
• Le dernier cas est P = (p) pour un nombre premier p ≡ 1 mod 4 ; nous prendrons de nouveau P = (13). Cette fois, nous avons la factorisation${\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.~}$Par conséquent, il existe deux facteurs premiers, tous les deux avec un degré d'inertie et un indice de ramification égal à 1. Ils sont donnés par${\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbb {Z} [{\rm {i}}]+({\rm {i}}+5)\mathbb {Z} [{\rm {i}}]=(2+3{\rm {i}})\mathbb {Z} [{\rm {i}}]\quad {\text{et}}\quad Q_{2}=(13)\mathbb {Z} [{\rm {i}}]+({\rm {i}}-5)\mathbb {Z} [{\rm {i}}]=(2-3{\rm {i}})\mathbb {Z} [{\rm {i}}].}$