Conducteur (théorie du corps de classes)

Le conducteur peut être défini de la même manière pour L/K une extension galoisienne finie non nécessairement abélienne de corps locaux[7] Cependant, il ne dépend que de L^ab/K, l'extension abélienne maximale de K dans L, grace au théorème de limitation de norme, qui stipule que, dans cette situation[8] - [9].

${\displaystyle N_{L/K}\left(L^{\times }\right)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left(\left(L^{\text{ab}}\right)^{\times }\right).}$

De plus, le conducteur peut être défini lorsque L et K sont autorisés à être légèrement plus généraux que locaux, à savoir s'il s'agit de corps valués complets avec un champ résiduel quasi-fini[10].

Le conducteur d'une extension abélienne L/K de corps de nombres peut être défini, de manière similaire au cas local, à l'aide de la réciprocité d'Artin. Plus précisément, soit θ : I^m → Gal(L/K ) soit l' application globale d'Artin où le module m est un module définissant L / K ; on dit que la réciprocité d'Artin tient pour m si θ se factorise par le groupe de classes de rayons modulo (en) m. On définit le conducteur de L/K, noté ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$, le facteur commun le plus élevé de tous les modules pour lesquels la réciprocité est valable ; en fait, la réciprocité vaut pour ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$, c'est donc le plus petit de ces modules[11] - [12] - [13].

• Prenant comme base le corps des nombres rationnels, le théorème de Kronecker-Weber énonce qu'un corps de nombres algébriques K est abélien sur Q si et seulement s'il s'agit d'un sous-corps d'un corps cyclotomique ${\displaystyle \mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)}$, où ${\displaystyle \zeta _{n}}$ désigne une racine primitive n ième de l'unité[14]. Si n est le plus petit entier pour lequel cela est vrai, le conducteur de K est alors n si K est fixe par conjugaison complexe et ${\displaystyle \infty }$ autrement.
• Soit ${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$ où d est un entier sans carré. Alors[15],

  ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{pour }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{pour }}d<0\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}}$ est le discriminant de ${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$ .

Le conducteur global est le produit de conducteurs locaux[16] :

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}\left(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.}$

Par conséquent, un nombre premier fini est ramifié dans L/K si, et seulement si, il divise ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$[17]. Un premier infini v apparaît dans le conducteur si, et seulement si, v est réel et devient complexe dans L.