Loi de réciprocité quadratique

L'énoncé complet de Gauss comporte trois assertions : le « théorème fondamental » pour deux nombres premiers impairs et deux « lois complémentaires ». Il faut toutefois observer que si la première loi complémentaire est effectivement une loi de réciprocité, la seconde loi complémentaire ne l'est pas ; en effet, avec la notation de Legendre définie ci-dessous, la première loi complémentaire équivaut bien à

${\displaystyle \left({p \over -1}\right)\left({-1 \over p}\right)\left(=\left({-1 \over p}\right)\right)=(-1)^{(p-1)(-1-1) \over 4},}$

c'est-à-dire que –1 se comporte effectivement comme un nombre premier vis-à-vis de la loi de réciprocité quadratique. Il n'en est pas de même du nombre 2, dont la résiduité modulo p est simplement caractérisée par seconde loi complémentaire : la loi de réciprocité est essentiellement un théorème concernant les nombres impairs en général, et c'est de fait à ces nombres qu'elle se généralise par le symbole de Jacobi, puis par celui de Kronecker.

• Modulo q = 3, le seul carré non nul est (±1)² = 1. La loi de réciprocité quadratique (jointe à sa première loi complémentaire) fournit donc, pour tout nombre premier p différent de 2 et 3, l'équivalence :${\displaystyle p\equiv 1\operatorname {mod} 3\Longleftrightarrow -3{\text{ est un carré modulo }}p}$.Cette équivalence se démontre plus directement[grec 2] - [grec 3] : l'entier p – 1 est un multiple de 3 si et seulement si[grec 4] (ℤ/pℤ)* contient un élément d'ordre 3, c'est-à-dire une racine du polynôme X² + X + 1. Cela équivaut à l'existence dans ℤ/pℤ d'une racine carrée du discriminant –3 de ce polynôme.
• Modulo q = 5, les carrés non nuls sont (±1)² = 1 et (±2)² ≡ –1. La loi de réciprocité quadratique fournit donc, pour tout nombre premier p différent de 2 et 5, l'équivalence[grec 5] :${\displaystyle p\equiv \pm 1\operatorname {mod} 5\Longleftrightarrow 5{\text{ est un carré modulo }}p.}$Mais dès 1775, Lagrange, parmi ses nombreux cas particuliers de la loi de réciprocité — fruits de son étude des formes quadratiques binaires — démontra le sens direct[4] (⇒) et étendit la réciproque (⇐)[grec 6] au cas où p n'est pas premier[5]. Gauss, en préambule à sa première démonstration de la loi générale, fit de même[6].
• Déterminons si 219 est un carré modulo 383[7]. La multiplicativité du symbole de Legendre montre que :${\displaystyle \left({\frac {219}{383}}\right)=\left({\frac {3}{383}}\right)\left({\frac {73}{383}}\right)}$.

Le théorème fondamental permet de simplifier les deux facteurs :${\displaystyle \left({\frac {3}{383}}\right)=(-1)^{2\times 382/4}\left({\frac {383}{3}}\right)=-\left({\frac {-1}{3}}\right)\quad {\text{et}}\quad \left({\frac {73}{383}}\right)=(-1)^{72\times 382/4}\left({\frac {383}{73}}\right)=+\left({\frac {18}{73}}\right)}$. À nouveau par multiplicativité du symbole de Legendre, on simplifie encore le second facteur : ${\displaystyle \left({\frac {18}{73}}\right)=\left({\frac {2}{73}}\right)\left({\frac {3^{2}}{73}}\right)=\left({\frac {2}{73}}\right)}$.On conclut à l'aide des deux lois complémentaires : comme ${\displaystyle 3\not \equiv 1\operatorname {mod} 4}$ et ${\displaystyle 73\equiv 1\operatorname {mod} 8}$, ${\displaystyle \left({\frac {219}{383}}\right)=-\left({\frac {-1}{3}}\right)\left({\frac {2}{73}}\right)=-(-1)1=1}$. Par conséquent, 219 est un carré modulo 383.

• Déterminons modulo quels nombres premiers p > 3 l'entier 3 est un carré[8]. D'après le théorème fondamental,

${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{(3-1)(p-1)/4}\left({\frac {p}{3}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}\left({\frac {p}{3}}\right)}$,

or ${\displaystyle \left({\frac {p}{3}}\right)}$ dépend de p mod 3 et ${\displaystyle (-1)^{(p-1)/2}}$ dépend de p mod 4. On trouve ainsi que

${\displaystyle 3{\text{ est un carré modulo }}p\Longleftrightarrow p\equiv \pm 1\operatorname {mod} 12.}$

Dans un livre publié en 2000, Franz Lemmermeyer expose l'histoire mathématique des lois de réciprocité en couvrant leurs développements et rassemble des citations de la littérature pour 196 différentes démonstrations[9] du théorème fondamental.

Les premières démonstrations de ce dernier aujourd'hui considérées comme complètes sont publiées par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Gauss disposait des preuves dès 1796 (à l'âge de dix-neuf ans). La première de ces preuves repose sur un raisonnement par récurrence. Dans sa correspondance avec Gotthold Eisenstein, Gauss qualifie cette première preuve de laborieuse[10]. Ses troisième et cinquième preuves reposent sur le lemme de Gauss, qu'il démontra à cette occasion[9].

La démonstration originale de Gauss utilise les mêmes techniques que celles exposées dans la première preuve de la deuxième loi complémentaire ci-dessous, et quoique considérée comme un peu laborieuse par beaucoup, elle est en fait très naturelle et peut être largement simplifiée (Dirichlet). Gauss suppose par induction la loi vraie pour les nombres premiers p, q inférieurs à N. Il utilise constamment des équations de base telles que p = c² – kq (si par exemple p est supposé résidu modulo q), pour démontrer que les facteurs premiers r divisant k sont résidus ou non résidus modulo p, ce qui permet d'en déduire la résiduité de q modulo p (voir la preuve de la deuxième loi complémentaire ci-dessous pour mieux saisir l'idée). Évidemment, il faut constamment utiliser les symétries logiques pour faire jouer l'induction, et examiner cas par cas.

Mais lorsque toutes les symétries ont été mises à profit, il reste encore un cas qui échappe à l'induction: c'est celui où p > q et p est congru à 1 modulo 4. C'est là que Gauss a l'idée digne de son génie d'utiliser comme levier un autre nombre premier q' < p tel que p est non résidu modulo q'. En supposant alors par l'absurde que p est résidu modulo q mais q non résidu modulo p, on en déduit que q' est non résidu modulo p et l'on a l'équation de base qq' = c² – kp, ce qui permet de faire jouer l'induction et de terminer la preuve.

Il reste donc à démontrer que pour tout nombre premier p congru à 1 modulo 4, il existe un nombre premier q' < p tel que p est non résidu modulo q'[11]. C'est en fait la difficulté essentielle de la démonstration de la loi de réciprocité quadratique, et Gauss avoue que la preuve de ce résultat lui a longtemps résisté[12]. Il s'en tire néanmoins par un mini tour de force (numéros 126, 127, 128, 129 des Disquisitiones), en se servant accessoirement d'un lemme injustement tombé dans l’oubli, qu'il démontre facilement par induction et qui mérite d'être cité :

Si A, B, C, D... et A', B', C', D'... sont deux suites de nombres (ne comportant pas forcément le même nombre de termes) et si, pour tout nombre premier p et tout entier n > 0, le nombre des termes de la première suite divisibles par pⁿ est au moins aussi grand que celui des termes de la seconde suite divisibles par ce même nombre, alors le produit des A, B, C... est divisible par le produit des A', B', C'...

Par exemple, si a est un entier relatif et n un entier positif, en observant[13] que le nombre des termes divisible par un entier positif quelconque k dans la suite a, a + 1, a + 2, … , a + n – 1 est au moins aussi grand que celui des termes divisibles par k dans la suite des nombres 1, 2, 3, … , n, on en conclut que a(a + 1)(a + 2)…(a + n – 1)/1.2…n est un entier, chose déjà connue par la combinatoire, mais qui reçoit par là une démonstration numérique pure (due à Gauss). C'est d'ailleurs peut être cet exemple qui a donné à Gauss l'idée de faire jouer la factorielle dans sa preuve du résultat ci-dessus.

Comme indiqué précédemment, les démonstrations de la loi de réciprocité quadratique sont légion. En particulier, citons-en deux.

• Une démonstration du théorème fondamental, qui est fondée sur les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini et utilise les caractères des groupes abéliens additif et multiplicatif du corps fini F_p à p éléments, est donnée dans l'article « Somme de Gauss ». Une version plus simple est la sixième démonstration par Gauss de ce théorème[14] - [15] - [16] - [grec 7]. Une autre preuve figure dans les liens externes de l'article « Lemme de Zolotarev ». On doit à Frobenius une preuve géométrique très simple s'appuyant sur le lemme de Gauss[17].
• Une démonstration des deux lois complémentaires est proposée ici. La première est conséquence immédiate du simple critère d'Euler[grec 8]. Les trois démonstrations choisies pour la deuxième sont (parmi bien d'autres) celle de Gauss (Disquisitiones), Thomas Joannes Stieltjes[18] (par dénombrement) et celle d'Euler (1772)[19].

Preuves des deux lois complémentaires

Soit p un nombre premier différent de 2. L'objectif est de déterminer le statut quadratique de –1 et 2 dans le corps F_p = ℤ/pℤ. L'ordre de son groupe multiplicatif F_p* est p – 1 (qui est pair).

• Conséquences du critère d'Euler :

• le produit ab de deux éléments de F_p* est quadratique si a et b sont simultanément quadratiques ou si aucun des deux ne l'est ;
• un élément de F_p* est non quadratique si et seulement s'il est racine du polynôme P(X) de F_p[X] défini par :

${\displaystyle P(X)=X^{\frac {p-1}{2}}+1}$ ;

• il y a exactement (p – 1)/2 résidus quadratiques.

• Première loi complémentaire :

Elle résulte de l'imparité de p (qui ne peut donc être congru modulo 4 qu'à ±1) et de la deuxième conséquence ci-dessus : –1 est non quadratique si et seulement si ${\displaystyle (-1)^{(p-1)/2}=-1}$, c'est-à-dire si p est congru à –1 modulo 4.

• Deuxième loi complémentaire (preuve due à Gauss)

Premier cas: si p est congru à ±3 modulo 8 :

Si 2 était résidu modulo p, on pourrait supposer p minimal jouissant de cette propriété, parmi tous les nombres premiers p congru à ±3 modulo 8. On aurait donc l'équation de base

${\displaystyle 2=c^{2}-kp,}$

avec k > 0 et 0 < c < p, et en échangeant éventuellement c avec p-c, on pourrait supposer c impair, d'où k impair d'une part, et ${\displaystyle c^{2}\equiv 1\mod 8}$ d'autre part. L'équation de base donnerait alors

${\displaystyle -kp\equiv 1\mod 8,}$

et il s'ensuivrait que k serait divisible par un nombre premier q congru a ±3 modulo 8 (sans quoi k, produit de nombres premiers congrus à ±1 modulo 8, serait de la forme ±1 modulo 8, et kp de la forme ±3 modulo 8).

Puisque d'autre part ${\displaystyle k={c^{2}-2 \over p}<p,}$ on a q < p. Mais alors, l'équation de base impliquerait que 2 est résidu modulo q, en contradiction avec la minimalité de p.

Deuxième cas: si p est congru à –1 modulo 8 :

On veut prouver que 2 est résidu modulo p. Puisque dans ce cas, -1 n'est pas résidu modulo p (première loi complémentaire), il suffit de prouver que -2 est non résidu modulo p.

Comme dans pour le premier cas, en supposant cela possible, on choisit p minimal jouissant de cette propriété. On a, comme précédemment, l'équation de base

${\displaystyle -2=c^{2}-kp,}$

avec k > 0, 0 < c < p, c impair, k impair, et k < p. Ainsi

${\displaystyle kp\equiv 3\mod 8.}$

Mais alors k est divisible par un facteur premier q congru à -3 ou à -1 modulo 8 (sans quoi k, produit de facteurs congrus à 1 ou à 3 modulo 8, le serait aussi, et kp serait congru à -1 ou à -3 modulo 8). L'équation de base implique que -2 est résidu modulo q, ce qui est impossible si q est congru à -1 modulo 8 en vertu de la minimalité de p. Si au contraire q est congru à -3 modulo 8, alors, q étant congru à 1 modulo 4, -1 est résidu modulo q et 2 est residu modulo q par l'équation de base (en la divisant par -1 modulo p). Mais cela est interdit par le premier cas déjà démontré. D'où la conclusion.

Troisième cas: si p est congru à 1 modulo 8 :

Ce cas échappe à l'induction, mais ne pose heureusement pas de problème: Si r est une racine primitive modulo p, soit ${\displaystyle a=r^{p-1 \over 8}}$. Alors

${\displaystyle a^{4}=-1\mod p,\quad {\hbox{ou bien}}\quad a^{4}+1\equiv (a^{2}+1)^{2}-2a^{2}\equiv 0\mod p.}$

Donc, par division de cette dernière congruence par ${\displaystyle a^{2}}$ modulo p, on voit que 2 est résidu modulo p, ce qu'il fallait démontrer.

• Deuxième loi complémentaire (preuve due à Stieltjes)

Considérons l'ensemble B des résidus non quadratiques différents de –1. On remarque que si b est un élément de B, alors b⁻¹ aussi, et il est différent de b. En effet, les seuls éléments égaux à leurs inverses sont 1 et –1 et aucun élément de B n'est égal à l'un de ceux-là.

On distingue deux cas suivant le résultat fourni par la première loi.

Premier cas: si p est congru à 1 modulo 4 :

Dans ce cas, –1 est un résidu quadratique et B est l'ensemble des (p – 1)/2 résidus non quadratiques. Soit C l'ensemble égal à B – 1, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de B auxquels on retranche 1. L'égalité suivante montre que la moitié des éléments de C sont des résidus quadratiques et l'autre non :

${\displaystyle \forall b\in B\quad b(b^{-1}-1)=b~b^{-1}-b=-1(b-1).}$

En effet, si b – 1 est un résidu quadratique, comme b ne l'est pas et que –1 l'est, b⁻¹ – 1 ne l'est pas non plus. Ce qui montre que l'on peut partitionner C en un ensemble de paires dont un élément est un résidu quadratique et l'autre non. Comme (p – 1)/2 est pair, le calcul de P(1) montre que :

${\displaystyle 2=1^{\frac {p-1}{2}}+1=P(1)=\prod _{b\in B}(1-b)=\prod _{b\in B}(b-1)=\prod _{c\in C}c.}$

Par conséquent, 2 est un résidu quadratique si et seulement si le nombre de résidus non quadratiques de C, qui vaut (p – 1)/4, est pair, c'est-à-dire si p est congru à 1 non seulement modulo 4, mais modulo 8.

Deuxième cas: si p est congru à –1 modulo 4 :

Dans ce cas, –1 n'est pas un résidu quadratique et B ne contient que (p – 3)/2 éléments. Considérons alors l'ensemble C' égal à B + 1. L'égalité suivante et le raisonnement précédent montrent que la moitié des (p – 3)/2 éléments de C' sont des résidus quadratiques et l'autre non :

${\displaystyle \forall b\in B\quad b(b^{-1}+1)=b~b^{-1}+b=b+1.}$

Notons Q(X) le polynôme défini par :

${\displaystyle Q(X)=\prod _{b\in B}(X-b)={\frac {P(X)}{X+1}}=\sum _{i=0}^{\frac {p-3}{2}}(-1)^{i}X^{i}.}$

En calculant Q(–1) de deux façons et en réutilisant que (p – 3)/2 est pair, on obtient :

${\displaystyle \prod _{c\in C'}c=(p-1)/2.}$

L'élément p – 1 n'est pas un résidu quadratique dans ce cas, et l'inverse de 2 est un résidu quadratique si et seulement si 2 l'est. En conséquence, 2 est un résidu quadratique si et seulement si le nombre de résidus non quadratiques de C', qui vaut (p – 3)/4, est impair, c'est-à-dire si p est congru à –1 non seulement modulo 4, mais modulo 8.

• Deuxième loi complémentaire (Euler).
  • Si p = 8n + 1 alors 2 est un carré mod p car x⁸ⁿ – 1 = (x⁴ⁿ – 1)((x²ⁿ + 1)² – 2(xⁿ)²).
  • Si p ≡ –1 mod 8 alors –2 n'est pas un carré mod p (sinon, p serait de la forme a² + 2b², ce qui est trivialement impossible) donc (d'après la première loi complémentaire) 2 en est un.
  • Si p ≡ ±3 mod 8 alors 2 n'est pas un carré mod p (sinon, p serait de la forme ±(a² – 2b²), ce qui est trivialement impossible).

Il existe des lois de réciprocité cubique, biquadratique (en) (c'est-à-dire de degré 4) et ainsi de suite. Cependant, la véritable généralisation de toutes ces lois — généralisation monumentale — est la théorie des corps de classes. Voir « Neuvième problème de Hilbert ».

Symbole de Jacobi