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Symbole de Kronecker (théorie des nombres)

En théorie des nombres, le symbole de Kronecker, écrit comme ou , est une généralisation du symbole de Jacobi à tous les entiers . Il a été introduit par Leopold Kronecker en 1885.

Définition

Soit être un entier non nul, factorisé comme

est une unité (c'est-à-dire ), et les sont premiers. Soit un entier. Le symbole Kronecker est défini par

Pour impair, le nombre est tout simplement le symbole de Legendre habituel. On définit par

Puisqu'il prolonge le symbole Jacobi, la quantité vaut simplement lorsque . Lorsque , nous le définissons par

Enfin, nous posons

Ces extensions suffisent à définir le symbole de Kronecker pour toutes les valeurs entières .

Certains auteurs ne définissent le symbole Kronecker que pour des valeurs plus restreintes ; par exemple, congru à et .

Table de valeurs

Ce qui suit est un tableau des valeurs du symbole Kronecker avec 1 ≤ n, k ≤ 30.

k
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
3 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
5 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
6 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
8 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
9 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
10 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
12 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
14 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
15 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
16 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
18 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0
21 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0
22 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
24 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
25 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
26 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
27 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
28 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
30 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

Propriétés

Le symbole Kronecker partage plusieurs propriétés avec le symbole de Jacobi, sous certaines restrictions :

  • si , et sinon.
  • sauf si , un des est nul et l'autre est négatif.
  • sauf si , un des est nul et l'autre a une partie impaire (définition ci-dessous) congruente à .
  • Pour , on a dès que Si de plus ont le même signe, il en va de même pour .
  • Pour , , on a dès que

À la différence du symbole de Jacobi, le symbole de Kronecker n'a pas le même lien avec les résidus quadratiques. En particulier, le symbole Kronecker pour pair peut prendre des valeurs indépendamment du fait que est un résidu quadratique ou un non-résidu modulo .

Réciprocité quadratique

Le symbole de Kronecker satisfait les versions suivantes de la loi de réciprocité quadratique.

Pour tout entier non nul , soit la partie impaire de : est impair (pour , nous posons ). Alors la version symétrique suivante de la réciprocité quadratique est valable pour chaque paire d'entiers tel que :

où le signe est égal à si ou et est égal à si et .

Il existe également une version équivalente non symétrique de la réciprocité quadratique qui vaut pour chaque paire d'entiers premiers entre eux:

Pour tout entier soit . Alors on réécrit l'égalité précédente comme

pour toute paire d'entiers (pas nécessairement premiers entre eux).

Les lois complémentaires se généralisent également au symbole de Kronecker. Ces lois découlent facilement de chaque version de la loi de réciprocité quadratique indiquée ci-dessus.

Pour tout entier on a

et pour tout entier impair :

Connexion aux caractères Dirichlet

Si et , la fonction est un caractère de Dirichlet réel de module Inversement, tout caractère de Dirichlet réel peut être écrit sous cette forme avec (pour c'est ).

En particulier, les caractères primitifs de Dirichlet réels sont en bijections avec les corps quadratiques , où est un entier sans carré non nul (on peut inclure le cas pour représenter le caractère principal, même s'il ne s'agit pas d'un corps quadratique proprement dit). Le caractère peut être retrouvé à partir du corps comme son symbole d'Artin : c'est-à-dire pour un nombre premier positif , la valeur de dépend du comportement de l'idéal dans l'anneau des entiers :

Alors est égal au symbole de Kronecker , où

est le discriminant de . Le conducteur de est .

De même, si , l'application est un caractère de Dirichlet réel de module . Cependant, tous les caractères réels ne peuvent pas être représentés de cette manière, par exemple le caractère ne peut pas être écrit comme pour toute . Par la loi de réciprocité quadratique, on a . Un caractère peut être représenté comme si et seulement si sa partie impaire vérifie , auquel cas on peut prendre .

Article connexe

Références

  •  L. Kronecker, Zur Theorie der elliptischen Funktionen, , 761–784 p. (lire en ligne)
  • Hugh L Montgomery et Robert C. Vaughan, Multiplicative number theory. I. Classical theory, vol. 97, Cambridge University Press , coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », (ISBN 978-0-521-84903-6, zbMATH 1142.11001)


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