Symbole de Jacobi

Le symbole de Jacobi ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ est défini pour tout entier relatif ${\displaystyle a}$ et tout entier naturel impair ${\displaystyle n}$ comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle n}$ : pour tout ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ et tous nombres premiers impairs ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$ (non nécessairement distincts),

${\displaystyle \left({\frac {a}{\prod _{1\leq i\leq k}p_{i}}}\right)=\prod _{1\leq i\leq k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)}$.

Soient ${\displaystyle m,n}$ positifs impairs et ${\displaystyle a,b}$ entiers quelconques. Alors[2] :

• ${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1}$ ;
• si ${\displaystyle n}$ est premier, le symbole de Jacobi ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ est simplement le symbole de Legendre ;
• si ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle n}$ ne sont pas premiers entre eux, ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=0}$ ;
• si ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle n}$ sont premiers entre eux, ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\pm 1}$ ;
• ${\displaystyle \left({\frac {ab}{n}}\right)=\left({\frac {a}{n}}\right)\left({\frac {b}{n}}\right)}$ ;
• ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)\left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{mn}}\right)}$ ;
• si a ≡ b (mod n) alors ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {b}{n}}\right)}$ ;
• généralisation de la loi de réciprocité quadratique :
  • théorème fondamental : ${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\left({\frac {n}{m}}\right)(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}}$,
  • première loi complémentaire :${\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}}$,
  • deuxième loi complémentaire :${\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}}$.

Les énoncés généraux sur les résidus quadratiques faisant intervenir le symbole de Legendre ne s'étendent pas au symbole de Jacobi : si ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=-1}$ alors a n'est pas un carré mod n mais si ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1}$, a n'est pas nécessairement un carré mod n[2]. Par exemple : ${\displaystyle \left({\frac {2}{9}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}=(-1)^{2}=1}$ mais 2 n'est pas un carré mod 9 (ni même mod 3).

• Symbole de Kronecker (théorie des nombres)