Réciprocité cubique

La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c’est-à-dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme

${\displaystyle z=a+b\omega }$

où a et b sont des entiers relatifs et

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}={\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}/3}}$

est une racine cubique de l'unité complexe.

Si π est un élément premier de E de norme P ≡ 1 (mod 3) et α un élément premier avec π, on définit le symbole résidu cubique ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\,}$ comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de ω) satisfaisant

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\equiv \alpha ^{(P-1)/3}{\pmod {\pi }}.}$

De plus, on dit qu'un entier d'Eisenstein est primaire s'il est congru à ±1 modulo 3.

Pour des nombres premiers primaires non associés π et θ, la loi de réciprocité cubique est :

${\displaystyle \left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}}$

avec des lois supplémentaires pour les unités et pour l'élément premier 1 – ω de norme 3 qui, pour π = 1 + 3(m + nω), sont :

${\displaystyle \left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{-m-n},\quad \left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m}\quad {\rm {et}}\quad \left({\frac {3}{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{n}.}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cubic reciprocity » (voir la liste des auteurs).
• (en) David A. Cox, Primes of the Form x²+ny², Wiley, 1997 (1^re éd. 1989), 351 p. (ISBN 978-0-471-19079-0, lire en ligne), p. 74-80
• (en) Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, coll. « GTM » (n^o 84), 1990 (réimpr. 1998), 2^e éd., 389 p. (ISBN 978-0-387-97329-6, lire en ligne), p. 108-137
• (en) Franz Lemmermeyer, Reciprocity Laws : From Euler to Eisenstein, Berlin/New York, Springer, 2000, 487 p. (ISBN 978-3-540-66957-9, lire en ligne), p. 209-234

• Loi de réciprocité quadratique
• Symbole de Legendre