Lemme de Zolotarev

Soit α la classe modulo p de l'entier a. La permutation de l'énoncé fixe la classe nulle, et s'identifie sur les classes non nulles à l'action τ_α de α par translation, dans le groupe multiplicatif Z/pZ*. Cette permutation se décompose en (p - 1)/i cycles disjoints, chacun de taille i, où i est l'ordre de α (c'est-à-dire le plus petit entier i > 0 tel que αⁱ = 1). Sa signature vaut donc :

${\displaystyle \varepsilon (\tau _{\alpha })=(-1)^{(i-1){\frac {p-1}{i}}}.}$

Pour comparer cette signature avec le symbole de Legendre (a/p), qui d'après le critère d'Euler, est égal à α^{(p - 1)/2}, on discute alors suivant la parité de i :

si i est pair alors ${\displaystyle \alpha ^{(p-1)/2}=(\alpha ^{i/2})^{(p-1)/i}=(-1)^{(p-1)/i}=\varepsilon (\tau _{\alpha })}$ ;

si i est impair alors ${\displaystyle \alpha ^{(p-1)/2}=(\alpha ^{i})^{(p-1)/2i}=1=\varepsilon (\tau _{\alpha })}$.

Dans les deux cas, c'est le résultat attendu.

Le théorème de Frobenius-Zolotarev[3] - [4] indique que si V est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps fini F_p, alors la signature de tout automorphisme de V (vu comme une permutation de cet espace vectoriel fini) est égale au symbole de Legendre de son déterminant :

${\displaystyle \forall u\in \mathrm {GL} (V),\qquad \varepsilon (u)=\left({\frac {\det(u)}{p}}\right).}$

Le lemme de Zolotarev correspond au cas V=F_p et u=la multiplication par a.

Démonstration

Le morphisme de groupes

${\displaystyle \mathrm {GL} (V)\to \mathbf {F} _{p}^{*},\qquad u\mapsto \det(u)}$

est surjectif et son noyau, le groupe spécial linéaire SL(V), est le sous-groupe dérivé de GL(V). Par propriété universelle de l'abélianisé, il existe donc un morphisme

${\displaystyle f:\mathbf {F} _{p}^{*}\to \{\pm 1\}}$

par lequel le morphisme signature se factorise :

${\displaystyle \forall u\in \mathrm {GL} (V),\quad \varepsilon (u)=f(\det(u)).}$

Enfin, ce morphisme f coïncide avec le symbole de Legendre, puisque ce n'est pas le morphisme trivial. En effet, on peut exhiber un automorphisme de V dont la signature est égale à –1 : si V est de dimension n donc isomorphe, en tant qu'espace vectoriel, au corps fini F_q pour q=pⁿ, il suffit de choisir l'automorphisme de multiplication par un générateur du groupe cyclique F_q*. C'est bien une permutation impaire, puisque c'est une permutation circulaire de longueur paire (q–1).