Espace vectoriel fini

Soit E un espace vectoriel sur K. Si E n'est pas l'espace nul, alors le corps K est équipotent à toute droite vectorielle Ku de E engendrée par u. Une bijection de K dans Ku est donnée par la multiplication à gauche de u par les scalaires. Si E est fini, alors K est fini, et E est nécessairement de dimension finie sur K, car il ne contient qu'un nombre fini de vecteurs.

Réciproquement, si E est un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K, alors E est isomorphe au produit Kⁿ. Le cardinal |E| de E vaut

${\displaystyle |E|=|\mathbf {K} |^{n}}$.

Soit q le cardinal de K. Donc E comporte exactement qⁿ – 1 vecteurs non nuls. Une base de E est une famille de n vecteurs linéairement indépendants. Elle peut se construire par une récurrence finie :

Le nombre de bases de E est

${\displaystyle (q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dots (q^{n}-q^{n-1})}$.

Par le même raisonnement, le nombre de familles de k vecteurs linéairement indépendants est

${\displaystyle (q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dots (q^{n}-q^{k-1})}$.

Une telle famille engendre un sous-espace vectoriel de dimension k de E . Cette méthode permet de construire tous les sous-espaces vectoriels de E, mais chaque sous-espace de dimension k est compté autant de fois qu'il a de bases. Par le lemme des bergers, le nombre de sous-espaces de dimension k est donc le coefficient binomial de Gauss

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dots (q^{n}-q^{k-1})}{(q^{k}-1)(q^{k}-q)(q^{k}-q^{2})\dots (q^{k}-q^{k-1})}}.}$

• Code linéaire
• Analyse harmonique sur un espace vectoriel fini
• Groupe abélien élémentaire (en)