q-analogue

La dérivée d'une fonction de variable réelle ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$ est la limite du taux d'accroissement ${\displaystyle \tau ={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}}$ quand ${\displaystyle x'}$ tend vers ${\displaystyle x}$, et on appelle traditionnellement ${\displaystyle h}$ la différence ${\displaystyle x'-x}$ de sorte que ${\displaystyle \tau ={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$. Mais, pour ${\displaystyle x}$ non nul, on peut aussi noter ${\displaystyle q}$ le quotient ${\displaystyle x'/x}$ de sorte que ${\displaystyle \tau ={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}}$. C'est ce dernier quotient qui est appelé la q-dérivée de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$, laquelle tend bien vers ${\displaystyle f'(x)}$ quand ${\displaystyle q}$ tend vers 1, si ${\displaystyle f}$ est dérivable en ${\displaystyle x}$. On note alors que la q-dérivée de la fonction ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ vaut ${\displaystyle {\frac {q^{n}-1}{q-1}}x^{n-1}}$, qui tend bien vers la dérivée ${\displaystyle nx^{n-1}}$ lorsque ${\displaystyle q}$ tend vers 1. Ceci justifie la définition suivante :

On définit le q-analogue de l'entier positif ${\displaystyle n}$ [3] par :

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$

On définit alors naturellement le q-analogue de la factorielle de l'entier ${\displaystyle n}$ par :

${\displaystyle n!_{q}}$	${\displaystyle =[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}}$
	${\displaystyle ={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$
	${\displaystyle =1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).}$

Ce q-analogue de la factorielle possède l'interprétation combinatoire suivante : alors que ${\displaystyle n!}$ est le nombre de permutations d'ordre ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n!_{q}}$ compte ces mêmes permutations en gardant trace du nombre d'inversions. C'est-à-dire que si l'on note ${\displaystyle {\text{inv}}(\sigma )}$ le nombre d'inversions de la permutation ${\displaystyle \sigma }$ et ${\displaystyle S_{n}}$ l'ensemble des permutations d'ordre n, on a : ${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}q^{{\text{inv}}(\sigma )}=n!_{q}}$.

La q-factorielle a aussi une écriture concise en termes de q-symboles de Pochhammer :

${\displaystyle n!_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}$.

À partir de la q-factorielle, on définit les coefficients q-binomiaux ou coefficients binomiaux de Gauss [5], q-analogues des coefficients binomiaux :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {n!_{q}}{(n-k)!_{q}k!_{q}}}}$, notés aussi ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{q}}$[6].

Cela permet aussi de définir un q-analogue de l'exponentielle (en)

${\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}}$,

puis de définir des q-analogues des fonctions trigonométriques et hyperboliques, ainsi qu'un q-analogue de la transformée de Fourier.

q-dérivée (en)

• (en) Eric W. Weisstein, « q-analog », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « q-bracket », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « q-factorial », sur MathWorld
• (en) « q-Gamma and q-Beta Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)