Permutation circulaire

Si c est un k-cycle, ses puissances successives vérifient

${\displaystyle \forall i,1\leq i<k,\;c^{i}\neq {\rm {Id}}\qquad c^{k}={\rm {Id}}}$,

ce qui veut dire que c est d'ordre k, ou encore : engendre un groupe cyclique d'ordre k.

En revanche, les puissances de c ne sont pas toutes à proprement parler des permutations circulaires (même si ce sont encore des décalages circulaires). Par exemple si c = (1 2 3 4) alors c² = (1 3)(2 4) est un produit de deux permutations circulaires d'ordre 2, des transpositions. Plus précisément, cⁱ est une permutation circulaire si et seulement si i et k sont premiers entre eux.

Un k-cycle est :

• une permutation paire si k est impair ;
• une permutation impaire si k est pair.

Une démonstration est fournie dans l'article sur la signature d'une permutation. Une autre méthode consiste à exhiber une décomposition de la permutation en transpositions[1] :

${\displaystyle (a_{1}~a_{2}~\dots ~a_{k-1}~a_{k})=(a_{1}~a_{2})\circ (a_{2}~a_{3})\circ \cdots \circ (a_{k-1}~a_{k})}$.

La permutation est donc la composée de k – 1 transpositions.

La conjuguée d'une permutation circulaire d'ordre k, c = (a₁ a₂ … a_k) par une permutation σ, est la permutation σ ∘ c ∘ σ⁻¹. Il s'agit encore d'un k-cycle :

${\displaystyle \sigma \circ c\circ \sigma ^{-1}=(\sigma (a_{1})~\sigma (a_{2})~\dots ~\sigma (a_{k}))}$

et réciproquement, tout k-cycle peut s'écrire sous cette forme en choisissant convenablement σ, ce qui signifie que la classe de conjugaison (ensemble des conjuguées) d'un k-cycle c est l'ensemble de tous les k-cycles (pour une généralisation, voir le § « Classes de conjugaison » de l'article sur le groupe symétrique).

Dans le groupe symétrique S_n, les k-cycles sont au nombre de

${\displaystyle {n \choose k}{\frac {k!}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k}}.}$

D'après la formule des classes, le centralisateur de c est donc d'ordre (n – k)!k. Il est par conséquent réduit à l'ensemble des produits, par l'une des k puissances de c, de l'une des (n – k)! permutations de support disjoint de celui de c.