Théorème de Cauchy (groupes)

On fait agir le groupe ${\displaystyle \mathbb {Z} /p{\mathbb {Z} }}$ par permutation circulaire sur l'ensemble

${\displaystyle E={\big \{}(x_{1},\dots ,x_{p})\in G^{p},\quad x_{1}\cdots x_{p}=e{\big \}}}$

où e désigne l'élément neutre du groupe G. L'équation aux classes affirme que # E est la somme des cardinaux des orbites pour l'action de ${\displaystyle \mathbb {Z} /p{\mathbb {Z} }}$.

Or ${\displaystyle \#E=(\#G)^{p-1}}$ car étant donné ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{p-1}}$ quelconque ${\displaystyle x_{p}}$ est totalement déterminé (et vaut ${\displaystyle x_{p-1}^{-1}\cdots x_{1}^{-1}}$. Ainsi #E est un multiple de p. Le cardinal d'une orbite est égal à l'indice du stabilisateur d'un de ses éléments. Or le groupe ${\displaystyle \mathbb {Z} /p{\mathbb {Z} }}$ ayant pour cardinal un nombre premier, l'indice d'un stabilisateur vaut soit 1 soit p. L'équation aux classes permet alors de conclure que le nombre de stabilisateur d'indice 1 est un multiple de p. Or ce multiple n'est pas nul puisque le stabilisateur de ${\displaystyle (e,\dots ,e)}$ est lui-même d'indice 1. On en conclut qu'il existe au moins p-1 éléments de E dont le stabilisateur est d'indice 1 autrement dit qui sont invariants par permutation circulaire. Si ${\displaystyle (x,\dots ,x)}$ est un tel élément on aura ${\displaystyle x^{p}=e}$.