Multiplication complexe

Un exemple de courbe elliptique avec multiplication complexe est ℂ/ℤ[i]θ où ℤ[i] est l'anneau des entiers de Gauss, et θ est n'importe quel nombre complexe différent de zéro. Tout tore complexe de la sorte possède l'anneau des entiers de Gauss comme anneau d'endomorphisme. Il est connu que les courbes correspondantes peuvent toutes être écrites sous la forme

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX.}$

De telles courbes ont un automorphisme évident d'ordre 4, celui qui envoie Y sur –iY et X sur –X et correspond à l'action de i sur les fonctions elliptiques de Weierstrass associées à la courbe.

Ceci est un exemple typique d'une courbe elliptique avec multiplication complexe. Sur le corps des nombres complexes, de telles courbes sont toutes trouvées comme des quotients

dans lequel un certain ordre dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique imaginaire prend la place des entiers de Gauss.

Lorsque le corps de base est un corps fini, toute courbe elliptique admet des endormorphismes non triviaux ; la multiplication complexe est dans un sens typique (et la terminologie n'est pas souvent utilisée). En revanche, lorsque le corps de base est un corps de nombres, la multiplication complexe est un cas exceptionnel. Il est connu que, dans un cas général, le cas de multiplication complexe est le plus difficile à résoudre pour la conjecture de Hodge.

Kronecker postula le premier que les valeurs des fonctions elliptiques aux points de torsion d'une courbe elliptique à multiplication complexe devraient être suffisants pour engendrer toutes les extensions abéliennes des corps quadratiques imaginaires, une idée qui remontait à Eisenstein dans certains cas, et même à Gauss. Ceci devint connu comme le Kronecker Jugendtraum (« rêve de jeunesse de Kronecker »).

Hilbert s'en inspira pour formuler son 12^e problème, qui porte sur la possibilité de rendre explicite la théorie des corps de classes, de la même façon que les racines de l'unité le font pour les extensions abéliennes du corps des nombres rationnels. Plusieurs généralisations des idées de Kronecker ont été cherchées ; elles se trouvent de manière légèrement oblique dans le courant principal de la philosophie de Langlands, et il n'existe pas de résultat définitif actuellement connu. Le rêve de jeunesse de Kronecker a été essentiellement démontré (sous une forme corrigée) par H. Weber.

Ce n'est pas par hasard si la constante de Ramanujan

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743,99999999999925007...}$

ou de manière équivalente,

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743,99999999999925007...}$

est si proche d'un entier. Ce fait remarquable est expliqué par la théorie de la multiplication complexe, associé à une certaine connaissance des formes modulaires, et le fait que

${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]}$

est un anneau factoriel. (Ici, α = (1 + √–163)/2 vérifie α² = α – 41 donc ℤ[α] = ℤ + αℤ. En général, S[α] est l'ensemble de toutes les expressions polynomiales en α à coefficients dans S ; c'est le plus petit anneau contenant α et S.)

• Loi de groupe formelle de Lubin-Tate (en), corps local
• Module de Drinfel'd (en), cas du corps global de fonctions