Groupe de Steinberg (K-théorie)

Les matrices élémentaires de transvections e_pq(λ) pour p ≠ q — avec des 1 sur la diagonale, un coefficient λ en position (p, q), et des 0 partout ailleurs — vérifient les relations suivantes, appelées relations de Steinberg :

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )&=e_{ij}(\lambda +\mu ),\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{jk}(\mu )\right]&=e_{ik}(\lambda \mu )&{\text{si }}i\neq k,\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{kl}(\mu )\right]&=\mathbf {1} &{\text{si }}i\neq l{\text{ et }}j\neq k.\end{aligned}}}$

Le groupe de Steinberg « stable » St(A) est défini par les générateurs x_ij(λ) (i, j ∈ ℕ*, i ≠ j, λ ∈ A), soumis à ces relations. C'est la limite inductive des groupes de Steinberg « non stables » St_n(A), définis de même mais pour i, j ≤ n.

Le groupe général linéaire « stable » GL(A) est défini comme la réunion croissante des GL(n, A), via l'identification de toute matrice carrée M de taille n à la matrice diagonale par blocs diag(M, 1), de taille n + 1. Par construction, il existe un unique morphisme de groupes φ : St(A) → GL(A) qui envoie les x_ij(λ) sur les e_ij(λ).

D'après le lemme de Whitehead, l'image de φ est le groupe dérivé de GL(A), c'est-à-dire que les matrices élémentaires de transvections engendrent, dans GL(A), le même sous-groupe que les commutateurs. Ce sous-groupe est noté E(A).