K-théorie de Milnor

Le calcul du K₂ d'un corps F a conduit Milnor à la définition ad hoc suivante des K-groupes d'indices supérieurs par

${\displaystyle K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a)),}$

donc comme le quotient (gradué) de l'algèbre tensorielle du groupe abélien F^× par l'idéal bilatère engendré par les a ⊗ (1 – a) pour a ≠ 0, 1.

Le produit tensoriel sur T*F induit un produit K^M_m × K^M_n → K^M_m+n qui fait de K^M(F) un anneau gradué qui est commutatif (au sens gradué)[2].

Pour n = 0, 1 ou 2, ces K-groupes de corps coïncident avec ceux de Quillen, mais pour n ≥ 3, ils sont en général différents.

K^M_n(F_q) = 0 pour n ≥ 2 (alors que le K-groupe de Quillen K_{2i – 1}(F_q), pour i ≥ 1, est cyclique d'ordre qⁱ – 1).

K^M₂(ℂ) est un groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K^M₂(ℝ) est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K^M₂(ℚ_p) est la somme directe du groupe multiplicatif de F_p et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K^M₂(ℚ) est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et de sous-groupes cycliques d'ordre p – 1, pour tout nombre premier p impair.

La K-théorie de Milnor joue un rôle fondamental en théorie des corps de classes supérieure (en), remplaçant K^M₁ utilisé en théorie des corps de classes de dimension 1.

La K-théorie de Milnor modulo 2, notée k_✲(F), est liée à la cohomologie étale (ou de Galois) du corps F par la conjecture de Milnor, démontrée par Vladimir Voïevodski. L'énoncé analogue modulo un nombre premier impair est la conjecture de Bloch-Kato (en), démontrée par Voevodsky et Rost.

On définit le « symbole » {a₁, … , a_n} comme l'image de a₁⊗ … ⊗ a_n dans K^M_n(F) : si n = 2, c'est un symbole de Steinberg[3].

On définit pour tout n un morphisme[3] de k_n(F) dans le groupe de Witt de F, en associant à ce symbole la forme de Pfister (en) de dimension 2ⁿ

${\displaystyle \langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,a_{1}\rangle \otimes \langle 1,a_{2}\rangle \otimes \ldots \otimes \langle 1,a_{n}\rangle .}$

Vu comme à valeurs dans Iⁿ/Iⁿ⁺¹, ce morphisme est surjectif car les formes de Pfister engendrent additivement Iⁿ[4]. La conjecture de Milnor s'interprète comme l'injectivité de ce morphisme[3].