Catégorie exacte

Soit B une catégorie abélienne. Une catégorie exacte est une sous-catégorie additive pleine de B, vue comme la donnée d'une catégorie additive A et une classe E de suites exactes courtes, vérifiant un jeu d'axiomes spécifiant les contraintes sur cette classe. A est supposée stable par extensions, c'est-à-dire que si X et Z sont dans A et que la suite X → Y → Z est exacte, alors Y est dans A.

Dans une suite exacte courte ${\displaystyle X{\stackrel {f}{\to }}Y{\stackrel {g}{\to }}Z}$, où ${\displaystyle (X,f)=ker(g)}$et ${\displaystyle (Z,g)=coker(f)}$ la suite elle-même est appelée conflation, f est appelé inflation (ou monomorphisme admissible) et g est appelé déflation (ou épimorphisme admissible). On note :

${\displaystyle X{\stackrel {f}{\rightarrowtail }}Y{\stackrel {g}{\twoheadrightarrow }}Z}$.

Les axiomes énoncés par Quillen sont :

• (QE1) E est stable par isomorphisme et contient toutes les extensions scindées, c'est-à-dire les suites de la forme ${\displaystyle X\to X\oplus Y\to Y}$. En outre, pour toute suite la déflation est le co-noyau de l'inflation, et l'inflation est le noyau de la déflation ;
• (QE2) Les déflations (respectivement inflations) sont stables par composition et changement de base (respectivement co-base) arbitraire ;
• (QE3) Si un morphisme M → P possède un noyau et peut factoriser une déflation N → P (c'est-à-dire que l'on a N → M → P), alors c'est une déflation lui-même. De manière symétrique, si un morphisme I → K possède un conoyau et factorise une inflation I → J (c'est-à-dire que l'on a I → K → J) alors il s'agit d'une inflation.

Il a été prouvé que le dernier axiome est une conséquence des deux premiers. Yoneda avait déjà montré ce résultat, qui a été retrouvé par Keller en 1990[1]. Il est désormais appelé "axiome obscure".

Il existe plusieurs axiomatisations différentes, mais l'idée sous-jacente est de mimer le comportement usuel des suites exactes courtes dans les catégories abéliennes. Que ce but est atteint est le résultat du théorème de Quillen-Gabriel.

Un foncteur F : A → C d'une catégorie exacte dans une autre est dit exact lorsque, pour toute suite exacte courte de A

${\displaystyle X{\stackrel {f}{\rightarrowtail }}Y{\stackrel {g}{\twoheadrightarrow }}Z}$,

la suite

${\displaystyle F(X)\to F(Y)\to F(Z)}$

une suite exacte de C.

Pour toute petite catégorie exacte (A, E), il existe un plongement ${\displaystyle A\hookrightarrow B}$ dans une catégorie abélienne B, telle que E correspond précisément à la classe des suites exactes courtes dans B (au sens usuel d'une suite exacte courte dans une catégorie abélienne).

• Par le théorème de Quillen-Gabriel, toute catégorie abélienne est en particulier exacte.
• Soit X un schéma, la catégorie des fibrés vectoriels algébriques sur X est une catégorie exacte, l'ensemble E étant formé des suites exactes courtes localement scindées.

• Catégorie de Waldhausen (en)
• Catégorie triangulée
• Théorème de plongement de Mitchell

• (en) Theo Bühler, « Exact Categories », Expositiones Mathematicae, vol. 28, n^o 1,‎ 2010, p. 1-69 (lire en ligne)
• (en) Dieter Happel, Triangulated categories in the representation of finite dimensional algebras, vol. 119, Cambridge University Press, 1988
• (en) Bernhard Keller, « Chain complexes and stable categories », Manuscripta Mathematica, vol. 67,‎ 1990, p. 379-417 (DOI 10.1007/BF02568439)
• (en) Daniel Quillen, « Higher algebraic K-theory: I », dans Hyman Bass, Higher K-Theories, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 341), 1972 (ISBN 978-3-540-06434-3, DOI 10.1007/BFb0067053), p. 85-147 DOI 10.1007/BFb0067053