Puissance extérieure

On considère le produit tensoriel :

${\displaystyle {\begin{matrix}N=\bigotimes ^{p}E&=&\underbrace {E\otimes _{A}\cdots \otimes _{A}E} \\&&p\end{matrix}}}$

On sait que toute application multilinéaire ${\displaystyle f:E^{p}\to F}$ est en correspondance avec une application linéaire ${\displaystyle h:N\to F}$ telle que :

${\displaystyle \forall (x_{1},\dots ,x_{p})\in E^{p},f(x_{1},\dots ,x_{p})=h(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p})}$

Comme f est alternée, l'application h s'annule en tous les tenseurs décomposables ${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}}$ tels qu'il existe ${\displaystyle i,j}$ deux indices différents vérifiant ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$. Considérons le sous-module C de N engendré par les tenseurs de cette forme. Comme C est incluse dans le noyau de h, il existe une unique application multilinéaire g du module quotient N/C telle que :

${\displaystyle \forall (x_{1},\dots ,x_{p})\in E^{p},g({\overline {x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}}})=h(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p})=f(x_{1},\dots ,x_{p})}$

On appelle donc puissance extérieure le quotient N/C et on le note ${\displaystyle \bigwedge ^{p}E}$. Si ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{p})\in E^{p}}$, la classe de l'élément ${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}}$ se note ${\displaystyle x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p}}$ (au lieu de ${\displaystyle {\overline {x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}}}}$ comme écrit précédemment).

Lorsque E est un module libre de type fini sur un anneau commutatif A, il possède une base finie ${\displaystyle (e_{1},\dots e_{n})}$ et la famille suivante :

${\displaystyle F=\{e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{p}},1\leq i_{1}<\cdots <i_{p}\leq n\}}$

est une base du produit extérieur ${\displaystyle \bigwedge ^{p}E}$.

En particulier, on déduit le résultat surprenant suivant : deux bases finies ${\displaystyle (e_{i})}$ et ${\displaystyle (f_{j})}$ d'un module sur un anneau commutatif ont même cardinal. En effet, soit n le cardinal de l'une, et m le cardinal de l'autre. Supposons n < m. Le produit extérieur ${\displaystyle \bigwedge ^{n}E}$ est le module nul, car en utilisant la propriété précédente, on déduit que la famille vide est une base de ${\displaystyle \bigwedge ^{n}E}$, par ailleurs, la famille ${\displaystyle \{f_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge f_{j_{n}},1\leq j_{1}<\cdots <j_{n}\leq m\}}$ qui est non vide est également une base. D'où la contradiction, donc ${\displaystyle n\geq m}$, par symétrie on déduit ${\displaystyle m\geq n}$, d'où n = m.